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e3a-Polytech MP 2017 — Maths 2

Racines des sommes partielles de la série exponentielle · 3 pages

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Le sujet étudie les polynômes $S_n = \sum_{i \leqslant n} X^i/i!$ . Après l'étude de l'endomorphisme $P \mapsto P - P'$ de $\mathbb{R}_n[X]$ , il montre que $S_n$ n'a pas de racine réelle pour $n$ pair et une seule, $\alpha_n$ , pour $n$ impair, que $\alpha_{2m+1}$ tend vers $-\infty$ , puis, à l'aide de $h(x) = x e^{1-x}$ et du réel $\rho$ tel que $h(\rho) = -1$ , que $\alpha_n \in \left]-n, n\rho\right[$ et que $\alpha_{2m+1}$ est équivalent à $(2m + 1)\rho$ . La dernière partie démontre le résultat admis (les racines complexes de $S_n$ sont de module $< n$ ) par un théorème de type Eneström-Kakeya sur les polynômes à coefficients monotones.

Le sujet, partie par partie

Partie I — L'endomorphisme $P \mapsto P - P'$ p. 1

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Nilpotents, Jordan, Dunford · Applications linéaires et rang · Polynômes — endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , opérateur de dérivation, dérivation nilpotente, inverse de $\mathrm{Id} - \delta$ , matrice dans la base canonique

Partie II — Racine réelle de $S_n$ p. 1–2

Racines et relations coefficients-racines · Suites numériques · Séries entières · Convergence uniforme et normale — sommes partielles de l'exponentielle, racine réelle unique, récurrence, suite décroissante, convergence uniforme sur un compact

Partie III — Localisation des racines p. 2

Racines et relations coefficients-racines · Dérivabilité · Nombres complexes · Séries entières · Continuité — fonction $x e^{1-x}$ , bijection réciproque de classe $\mathcal{C}^\infty$ , racines complexes, reste de la série exponentielle, majoration de module

Partie IV — Équivalent de la racine réelle p. 2–3

Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment · Formule de Stirling · Suites numériques — équivalent de la racine réelle, formule de Taylor avec reste intégral, intégrale de $h(t)^n$ , passage à la limite

Partie V — Module des racines de $S_n$ p. 3

Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes · Inégalités classiques — théorème d'Eneström-Kakeya, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, polynôme à coefficients décroissants, module des racines

e3a-Polytech MP 2017 — Maths 2

Le sujet, partie par partie

Partie I — L'endomorphisme P↦P−P′P \mapsto P - P' p. 1

Partie II — Racine réelle de SnS_n p. 1–2

Partie III — Localisation des racines p. 2

Partie IV — Équivalent de la racine réelle p. 2–3

Partie V — Module des racines de SnS_n p. 3

Dans l'édifice

Partie I — L'endomorphisme $P \mapsto P - P'$ p. 1

Partie II — Racine réelle de $S_n$ p. 1–2

Partie V — Module des racines de $S_n$ p. 3