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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech PSI 2012 — Maths 2

Intégrale de Gauss, rotations, sommation des équivalents, théorème de Burnside · 5 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Quatre exercices indépendants. Le premier calcule l'intégrale de Gauss par convergence dominée appliquée à (1−x2/n)n(1 - x^2/n)^n et par les intégrales de Wallis et la formule de Stirling. Le deuxième identifie un demi-tour de ℝ3\mathbb{R}^3, cherche quand X3+X2+dX^3 + X^2 + d est scindé sur ℝ\mathbb{R}, puis détermine, via les relations coefficients-racines, les polynômes X3+aX2+bX+cX^3 + aX^2 + bX + c dont les racines α\alpha, β\beta, γ\gamma font de la matrice symétrique de lignes (α,β,γ)(\alpha, \beta, \gamma), (β,γ,α)(\beta, \gamma, \alpha), (γ,α,β)(\gamma, \alpha, \beta) une rotation. Le troisième utilise la sommation des équivalents pour des séries divergentes (série harmonique, séries de Bertrand, moyennes logarithmiques bnb_n). Le quatrième montre qu'un sous-groupe de GLn(ℂ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) d'exposant fini est fini (théorème de Burnside), en caractérisant les nilpotents par les traces de leurs puissances.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Intégrale de Gauss p. 2

Fonctions spéciales · Convergence dominée · Formule de Stirling · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment — intégrale de Gauss, intégrales de Wallis, formule de Stirling, convergence dominée, suite de fonctions (1−x2/n)n(1 - x^2/n)^n

Exercice 2 — Rotations et polynômes de degré 3 p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Racines et relations coefficients-racines · Isométries et groupe orthogonal · Matrices remarquables — rotation de ℝ3\mathbb{R}^3, demi-tour, axe et angle, relations coefficients-racines, polynôme scindé sur ℝ\mathbb{R}, matrice symétrique à lignes permutées circulairement

Exercice 3 — Sommation des équivalents et séries divergentes p. 3–4

Séries numériques · Équivalents et comparaison · Séries entières · Comparaison série-intégrale — sommation des relations de comparaison, série harmonique, séries de Bertrand, équivalent de ln⁡ln⁡n\ln \ln n, rayon de convergence

Exercice 4 — Sous-groupes d'exposant fini de GLn(ℂ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) p. 4–5

Groupes de matrices · Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes — théorème de Burnside, groupe d'exposant fini, nilpotence et traces des puissances, racines pp-ièmes de l'unité, sous-groupe fini de GLn(ℂ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongementThéorème de Schwarz et intégrales à paramètreThéorème de convergence dominéeIntégrale de RiemannFonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannThéorème fondamental de l'analyseLe groupe linéaire et l'inversion des matricesAnneaux de polynômesGroupes de Lie et groupes de matricesMatrices d'une application linéaireSuites, séries et parties compactes de ℂLa demi-droite achevée et les sommes positivesSuites réelles et limitesSéries entières et rayon de convergenceUne série entière est holomorpheLes fonctions holomorphes sont analytiquesThéorème de Cartan-von NeumannConjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleApplications linéaires
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