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e3a-Polytech PSI 2017 — Mathématiques

E3A PSI 2017 — Quatre exercices (interpolation de Lagrange, inégalité intégrale, somme aléatoire, dichotomie) · 4 pages

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Le premier exercice étudie l'isomorphisme $P \mapsto (P(a_1), \dots, P(a_n))$ et la base des polynômes de Lagrange, la matrice de passage $M$ depuis la base canonique et un endomorphisme de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ défini par interpolation. Le deuxième établit l'inégalité $(\int f^2)^2 \leqslant 4 (\int t^2 f^2)(\int f'^2)$ sur $\left[0, +\infty\right[$ et son cas d'égalité, le troisième calcule l'espérance et la variance de la somme $X_0 + \dots + X_T$ de variables indépendantes de même loi, indépendantes d'un indice aléatoire $T$ , et le quatrième traite en Python la recherche dichotomique d'un zéro, d'un point fixe et d'une position dans une liste triée, puis le tri par insertion dichotomique.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Polynômes d'interpolation de Lagrange p. 1

Interpolation polynomiale · Calcul matriciel · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension — polynômes de Lagrange, matrice de passage, isomorphisme d'évaluation, sous-espace propre, noyau et image, projecteur

Exercice 2 — Une inégalité intégrale sur $\left[0, +\infty\right[$ p. 2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Inégalités fonctionnelles · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrale sur un segment — fonctions de carré intégrable, produit scalaire intégral, intégration par parties, inégalité de Heisenberg, cas d'égalité, fonction gaussienne

Exercice 3 — Somme d'un nombre aléatoire de variables aléatoires p. 3

Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Probabilités totales et formule de Bayes · Conditionnement et indépendance — somme aléatoire, système complet d'événements, formule de l'espérance totale, variance, variables indépendantes

Exercice 4 — Dichotomie : zéros, points fixes, recherche et tri p. 4

Informatique et algorithmique · Continuité · Points fixes et suites itératives — méthode de dichotomie, théorème des valeurs intermédiaires, recherche dichotomique, tri par insertion, complexité, Python