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Mines-Ponts MP 2014 — Maths 2
Dans un espace de Banach, le sujet démontre le théorème de Picard puis un principe d'invariance par homotopie : si une application contractante homotope à admet un point fixe et qu'aucune application de l'homotopie n'a de point fixe sur le bord de , alors en admet un unique intérieur à . Il l'applique à des opérateurs intégraux à noyau, généralise le résultat aux applications continues d'image compacte grâce au théorème de Schauder (admis), et conclut à l'existence d'une solution pour une équation intégrale non linéaire de Fredholm par un argument d'équicontinuité et d'extraction diagonale.
Le sujet, partie par partie
Notations et A — Théorème du point fixe p. 2
Points fixes et suites itératives · Espaces vectoriels normés · Suites numériques — théorème du point fixe de Picard, application contractante, suite de Cauchy, espace de Banach
B — Invariance par homotopie p. 2–3
Points fixes et suites itératives · Topologie, compacité, connexité · Connexité · Espaces vectoriels normés — homotopie, frontière, distance à une partie, partie ouverte et fermée de , borne supérieure, point fixe intérieur
C — Étude de certains opérateurs à noyau p. 4
Points fixes et suites itératives · Opérateurs et théorie spectrale · Intégrale sur un segment — opérateur à noyau, condition de Lipschitz, norme uniforme, opérateur intégral non linéaire
D — Une généralisation p. 4–5
Points fixes et suites itératives · Compacité · Ensembles convexes · Topologie, compacité, connexité · Continuité — théorème de Schauder, image compacte, distance à un fermé, partie convexe fermée, alternative de Leray-Schauder
E — Application aux intégrales de Fredholm p. 5–6
Points fixes et suites itératives · Compacité · Opérateurs et théorie spectrale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Convergence uniforme et normale · Densité — équation intégrale de Fredholm, équicontinuité, théorème d'Ascoli, extraction diagonale, convergence simple et uniforme, norme