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Mines-Ponts MP 2016 — Maths 2

Théorème taubérien de Hardy–Littlewood–Karamata · 5 pages

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Le sujet calcule d'abord $K = \int e^{-u}/\sqrt{u}\,\mathrm{d}u = \sqrt{\pi}$ grâce à une intégrale à paramètre $F$ solution d'une équation différentielle linéaire. Il étudie les séries $f(x) = \sum e^{-nx}/\sqrt{n}$ et $g(x) = \sum \sqrt{n}\, e^{-nx}$ et leurs équivalents en $0$ , puis associe à une partie $A$ de $\mathbb{N}$ la fonction $f_A(x) = \sum_{n\in A} e^{-nx}$ et la quantité $\Phi(A) = \lim x f_A(x)$ , calculée pour les carrés et majorée pour les sommes de deux carrés. Il démontre enfin le théorème taubérien : si $x \sum \alpha_n e^{-nx}$ tend vers $\ell$ en $0$ avec $\alpha_n \geqslant 0$ , alors $(1/N) \sum_{k\leqslant N} \alpha_k$ tend vers $\ell$ , via une forme linéaire continue étendue des polynômes aux fonctions continues par morceaux, et l'applique à la densité de $A$ et au nombre moyen de représentations comme somme de deux carrés.

Le sujet, partie par partie

A — Une intégrale à paramètre p. 2

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations différentielles linéaires · Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions spéciales — dérivation sous le signe intégrale, intégrale de Gauss, équation différentielle du premier ordre, domination, intégrabilité

B — Étude de deux séries de fonctions p. 2–3

Suites et séries de fonctions · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Familles sommables et produit de Cauchy · Convergence uniforme et normale — séries de fonctions, équivalent en $0$ , comparaison série-intégrale, produit de Cauchy, continuité de la somme

C — Séries de fonctions associées à des ensembles d'entiers p. 3–4

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Équivalents et comparaison · Familles sommables et produit de Cauchy · Suites et séries de fonctions · Dénombrement et combinatoire — densité d'un ensemble d'entiers, sommes de deux carrés, carrés parfaits, produit de Cauchy, partie entière

D — Un théorème taubérien p. 4–5

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Théorème de Weierstrass · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Densité · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Espaces vectoriels normés — théorème taubérien de Hardy-Littlewood-Karamata, forme linéaire continue, fonctions continues par morceaux, moyenne de Cesàro, approximation par des fonctions continues, sommes de deux carrés

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Systèmes linéaires et exponentielle de matrices La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Intégrale de Riemann Suites réelles et limites La demi-droite achevée et les sommes positives Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Sommation d'Abel et intégrales impropres Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Applications linéaires continues et dual topologique Intérieur, adhérence Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie