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Mines-Ponts PC 2014 — Maths 2
Le sujet étudie l'opérateur qui associe à continue la moyenne pondérée , avec un poids continu strictement positif : prolongement en , injectivité, puis valeurs propres et sous-espaces propres sur les fonctions bornées via une équation différentielle. Lorsque et sont périodiques, il montre que a une limite en : par un argument de périodicité commune si les périodes sont commensurables, et, si elles ne le sont pas, par la série de Fourier de et le théorème de Weierstrass trigonométrique.
Le sujet, partie par partie
Notations et Partie 1 — L'opérateur de moyenne p. 2–3
Opérateurs et théorie spectrale · Équations différentielles linéaires · Réduction des endomorphismes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Continuité — opérateur de moyenne, moyenne pondérée, prolongement par continuité, endomorphisme injectif, valeurs propres, sous-espaces propres, équation différentielle linéaire du premier ordre
Partie 2 — Le cas périodique : périodes commensurables p. 3
Continuité · Intégrale sur un segment · Opérateurs et théorie spectrale — fonction périodique, période commune, partie entière, limite en l'infini, valeur moyenne, bornes atteintes
Partie 2 — Le cas périodique : périodes incommensurables p. 4
Séries de Fourier · Théorème de Weierstrass · Densité · Convergence des séries de Fourier · Irrationalité et approximation diophantienne — périodes incommensurables, polynôme trigonométrique, théorème de Weierstrass trigonométrique, coefficients de Fourier, fonction de classe par morceaux, valeur moyenne