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Mines-Ponts PSI 2019 — Maths 2

Le problème des moments · 5 pages

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Le problème se demande si une densité de probabilité est déterminée par ses moments $m_n(f) = \int x^n f(x) \,\mathrm{d}x$ . Après des calculs de moments (densité exponentielle, densité gaussienne), il démontre le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein et en déduit que la réponse est positive sur $[0, 1]$ . Il calcule la transformée de Fourier de la gaussienne par une équation différentielle, puis l'utilise pour montrer que la densité log-normale $f$ et les densités $f(x)(1 + \alpha \sin(2\pi \ln x))$ ont les mêmes moments, ce qui donne une réponse négative sur $\left[0, +\infty\right[$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Quelques exemples p. 2

Variables à densité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Espérance, variance, moments — densité de probabilité, moments, densité exponentielle, densité gaussienne, intégration par parties, moment d'ordre 1 non fini

Partie II — Théorème de Stone-Weierstrass p. 2–3

Théorème de Weierstrass · Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale · Convergence uniforme et normale · Continuité — polynômes de Bernstein, continuité uniforme, approximation uniforme, formule du binôme, variance d'une loi binomiale

Partie III — Le problème des moments sur $[0, 1]$ p. 4

Théorème de Weierstrass · Intégrale sur un segment · Convergence uniforme et normale — problème des moments, densité déterminée par ses moments, passage à la limite uniforme sous l'intégrale, intégrale d'une fonction positive continue nulle

Partie IV — Transformée de Fourier de la densité gaussienne p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Loi normale et vecteurs gaussiens · Équations différentielles linéaires — transformée de Fourier, gaussienne, dérivation sous le signe intégrale, domination, équation différentielle du premier ordre

Partie V — Le problème des moments sur $\left[0, +\infty\right[$ p. 5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Transformées de Fourier et de Laplace · Loi normale et vecteurs gaussiens · Variables à densité · Ensembles et dénombrabilité — densité log-normale, changement de variable $u = \ln x$ , moments égaux, non-unicité, transformée de Fourier en un point complexe

Dans l'édifice

La loi normale Lois de Poisson et loi exponentielle Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espérance, variance et inégalités Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables