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Mines-Ponts PSI 2022 — Maths 1

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier · 6 pages

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Le sujet étudie le nombre $p_n$ de partitions de l'entier $n$ . Il définit sur le disque unité la fonction $P(z) = \exp\left(\sum L(z^n)\right)$ , où $L(z) = \sum z^n/n$ , l'écrit comme un produit infini des $1/(1 - z^k)$ et établit en variable réelle le développement $\ln P(e^{-t}) = \pi^2/(6t) + \ln(t)/2 - \ln(2\pi)/2 + o(1)$ quand $t$ tend vers $0^+$ , grâce à une intégrale faisant intervenir la partie fractionnaire et à la formule de Stirling. Il montre ensuite que $P$ est la somme de la série entière $\sum p_n z^n$ , exprime $p_n$ par une intégrale de Cauchy sur un cercle, et en déduit par une majoration fine que $p_n = O\left(\exp\left(\pi\sqrt{2n/3}\right)/n\right)$ , proche de l'équivalent de Hardy et Ramanujan.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Fonctions $L$ et $P$ p. 2–3

Séries entières · Produits infinis · Nombres complexes · Dérivabilité — logarithme complexe, série de $z^n/n$ , produit infini, disque unité, $\exp(L(z)) = 1/(1-z)$

Partie B — Développement asymptotique en variable réelle p. 3–4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Formule de Stirling · Séries alternées · Intégrales à paramètre · Interversion des limites — partie fractionnaire, formule de Stirling, intégrale de $\ln(1-e^{-u})$ , série alternée, $\pi^2/6$ , développement asymptotique

Partie C — Développement de $P$ en série entière p. 4–5

Partitions et nombres combinatoires · Séries entières · Fonctions génératrices · Produits infinis · Séries de Fourier — partitions d'un entier, série génératrice des partitions, produit de Cauchy, rayon de convergence, formule intégrale des coefficients

Parties D et E — Contrôle de $P$ et majoration de $p_n$ p. 5–6

Développements asymptotiques · Partitions et nombres combinatoires · Nombres complexes · Inégalités classiques · Intégrale sur un segment — majoration de $|P(xe^{i\theta})|$ , inégalité $1 - \cos\theta \geqslant \alpha\theta^2$ , méthode du col, formule de Hardy-Ramanujan

Mines-Ponts PSI 2022 — Maths 1

Le sujet, partie par partie

Partie A — Fonctions LL et PP p. 2–3

Partie B — Développement asymptotique en variable réelle p. 3–4

Partie C — Développement de PP en série entière p. 4–5

Parties D et E — Contrôle de PP et majoration de pnp_n p. 5–6

Dans l'édifice

Partie A — Fonctions $L$ et $P$ p. 2–3

Partie C — Développement de $P$ en série entière p. 4–5

Parties D et E — Contrôle de $P$ et majoration de $p_n$ p. 5–6