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X-ENS PC 2022 — Maths

Points fixes, matrices contractantes et méthode de la sécante · 7 pages

Le sujet établit plusieurs théorèmes de point fixe (fonction continue sur un segment, application contractante sur un fermé de $\mathbb{R}^\ell$ , fonction croissante de $[0, 1]$ dans lui-même), puis construit pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ une norme adaptée $N$ vérifiant $N(Ax) \leqslant (\rho(A) + \eta)N(x)$ , ce qui donne la convergence locale des itérations autour d'un point fixe attractif. Il étudie enfin la fonction de deux variables $H_f(x, y) = (xf(y) - yf(x))/(f(y) - f(x))$ et en déduit la convergence locale de la méthode de la sécante, d'ordre le nombre d'or $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$ dans le cas d'un polynôme du second degré.

Le sujet, partie par partie

Notations et Première partie — Points fixes p. 2–4

Points fixes et suites itératives · Suites numériques · Continuité · Séries numériques · Dérivabilité — théorème du point fixe de Picard, application contractante, théorème des valeurs intermédiaires, point fixe d'une fonction croissante, borne supérieure

Deuxième partie — Matrices contractantes p. 4–5

Rayon spectral · Points fixes et suites itératives · Trigonalisation · Normes équivalentes · Diagonalisation · Stabilité des équilibres — rayon spectral, norme adaptée, puissances d'une matrice triangulaire, point fixe attractif, convergence locale

Troisième partie — Fonctions de deux variables réelles p. 5–6

Calcul différentiel · Intégrales à paramètre · Dérivabilité · Continuité — dérivées partielles croisées, dérivée de la fonction réciproque, prolongement par continuité, fonction de classe $\mathcal{C}^2$

Quatrième partie — Méthode de la sécante p. 6–7

Analyse numérique · Suites récurrentes linéaires · Méthode de Newton · Suites numériques — méthode de la sécante, nombre d'or, ordre de convergence, suite de Fibonacci, convergence locale