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Agrégation interne 2024 — Épreuve 2

Le problème du collectionneur de vignettes et la loi de Gumbel · 13 pages

Après deux exercices (une équation fonctionnelle intégrale ramenée à des équations différentielles, et le comportement de la médiane d'une loi de Poisson via le théorème central limite), le sujet établit des résultats préliminaires : fonction $\Gamma$ , inégalité de Hölder, développement asymptotique de $H_n$ et somme des $1/n^2$ . Il étudie ensuite le temps $T_n$ nécessaire pour compléter un album de $n$ vignettes (espérance, variance, fonction génératrice), démontre le théorème de Bohr-Mollerup et la formule d'Euler pour $\Gamma$ , introduit la fonction caractéristique et la loi de Gumbel, et prouve que $(T_n - n \ln n)/n$ converge en loi vers la loi de Gumbel.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une équation fonctionnelle intégrale p. 6

Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — équation intégrale, parties paire et impaire, théorème fondamental de l'analyse, équation différentielle linéaire

Exercice 2 — Somme de variables de Poisson et équation $g_n(x) = 1/2$ p. 6–7

Loi de Poisson · Théorème central limite et convergence en loi · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Suites numériques · Couples et sommes de variables aléatoires — loi de Poisson, somme de variables indépendantes, théorème central limite, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, médiane

Résultats préliminaires 1 et 2 — Fonction $\Gamma$ et inégalité de Hölder p. 7

Fonctions Gamma et Bêta · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Intégrales à paramètre · Fonctions convexes · Inégalités classiques — fonction Gamma, dérivation sous l'intégrale, $\Gamma(n) = (n-1)!$ , concavité du logarithme, inégalité de Young, inégalité de Hölder

Résultats préliminaires 3 et 4 — Sommes harmoniques et problème de Bâle p. 8

Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Formule de Parseval · Fonction zêta de Riemann — série harmonique, constante d'Euler, développement asymptotique de $H_n$ , coefficients de Fourier, égalité de Parseval, somme des $1/n^2$

Première partie — Problème du collectionneur de vignettes p. 9–10

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Couples et sommes de variables aléatoires · Fractions rationnelles · Équivalents et comparaison — collectionneur de vignettes, loi géométrique, variables indépendantes, fonction génératrice, décomposition en éléments simples, simulation en Python

Deuxième partie — Log-convexité de $\Gamma$ et théorème de Bohr-Mollerup p. 10–11

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Équivalents et comparaison — log-convexité, théorème de Bohr-Mollerup, formule d'Euler pour Gamma, encadrement, équation fonctionnelle $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

Troisième partie — Fonction caractéristique p. 11

Espérance, variance, moments · Fonctions génératrices · Loi géométrique · Interversion des limites · Couples et sommes de variables aléatoires — fonction caractéristique, moments, dérivation terme à terme, somme de variables indépendantes, loi géométrique

Quatrième partie — La loi de Gumbel p. 12

Variables à densité · Convergence dominée · Espérance, variance, moments · Fonctions Gamma et Bêta · Comparaison série-intégrale — loi de Gumbel, densité de probabilité, fonction de répartition, constante d'Euler, $\Gamma(1 - it)$ , espérance et variance

Cinquième partie — Convergence en loi vers la loi de Gumbel p. 13

Théorème central limite et convergence en loi · Fonctions Gamma et Bêta · Espérance, variance, moments — convergence en loi, fonction caractéristique, formule d'Euler pour Gamma, collectionneur de vignettes, loi de Gumbel

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Lois de Poisson et loi exponentielle Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Indépendance d'événements et de tribus Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Théorème de convergence dominée Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Le système trigonométrique est une base hilbertienne La fonction zêta de Riemann et son prolongement Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Séries entières et rayon de convergence Théorème de définition par récurrence Corps des fractions d'un anneau intègre Une série entière est holomorphe La loi normale