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Agrégation interne 2026 — Épreuve 2

Fonctionnelles quadratiques, séries de Fourier et problème aux limites $-(au')' = f$ · 9 pages

Le problème relie séries de Fourier, optimisation quadratique et résolution d'un problème aux limites. Il établit d'abord la décroissance des coefficients de Fourier d'une fonction régulière et l'erreur de la méthode des rectangles, puis minimise $J(x) = (Ax \mid x)/2 - (b \mid x)$ , sans puis avec contraintes linéaires, avec un algorithme de gradient projeté. Il résout ensuite $-(au')' = f$ avec $u(0) = u(\pi) = 0$ par la méthode de tir et par une formulation variationnelle, approche la solution sur les sinus $\sin(kx)$ et montre la convergence uniforme de cette approximation dans un espace de Hilbert défini par les coefficients de Fourier.

Le sujet, partie par partie

Questions préliminaires et Première partie — Sur les séries de Fourier p. 5–6

Séries de Fourier · Formule de Parseval · Convergence des séries de Fourier · Fonction zêta de Riemann · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Projection orthogonale et moindres carrés — formule de Parseval, somme des $1/n^4$ , décroissance des coefficients de Fourier, méthode des rectangles, fonction périodique de classe $\mathcal{C}^r$

Deuxième partie — Étude d'une fonctionnelle quadratique p. 6–7

Extrema et optimisation · Matrices symétriques positives · Compacité — fonctionnelle quadratique, matrice symétrique définie positive, coercivité, système $Ax = b$ , minimum global

Troisième partie — Un problème connexe p. 7

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Projection orthogonale et moindres carrés · Descente de gradient · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Dualité · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer — minimisation sous contraintes, multiplicateurs de Lagrange, gradient projeté, orthogonal du noyau, norme subordonnée, contraction

Quatrième partie — Sur un problème aux limites p. 7–9

Équations linéaires d'ordre 2 · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Inégalités fonctionnelles · Convergence dominée · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Convergence uniforme et normale · Analyse numérique — problème aux limites, formulation variationnelle, méthode de tir, problème de Cauchy, méthode de Galerkin, principe du maximum

Cinquième partie — Un cadre fonctionnel plus élaboré p. 9

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries de Fourier · Formule de Parseval · Théorème de Weierstrass · Convergence uniforme et normale — espace de Sobolev, espace de Hilbert, polynômes trigonométriques, convergence en moyenne quadratique, coefficients de Fourier

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications différentiables Compacité Applications linéaires continues et dual topologique Espace dual Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de représentation de Riesz Théorème de Cauchy-Lipschitz local Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Théorème de convergence dominée Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème du point fixe de Banach Familles orthonormales et bases hilbertiennes Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Densité des fonctions en escalier et continuité des translations