AnnalesBaccalauréat

Bac Amérique du Sud Terminale 2016 — Session normale, 22 novembre 2016

Fonction $2x\mathrm{e}^{-x^2}$ comme densité, vrai-faux sur les complexes, suite homographique, pyramide équilatère et volumes, lois normale et exponentielle ou rep-units et congruences · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine $f(x) = 2x\mathrm{e}^{-x^2}$ par une condition de tangence, l'étudie, calcule $\int_0^m f(t)\,\mathrm{d}t$ et sa limite, puis la reconnaît comme densité et en calcule la médiane. Le deuxième est un vrai-faux sur une médiatrice, une équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ et un argument de $(-\sqrt{3} + \mathrm{i})^8$ , et le troisième conjecture puis démontre l'expression explicite de la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ . Le quatrième calcule des volumes dans une pyramide équilatère, d'abord sans repère puis avec un vecteur normal et un projeté orthogonal, pour décider si une découpe partage un gâteau équitablement. Au choix, les non-spécialistes traitent des durées de fonctionnement par une loi normale, une loi exponentielle sans vieillissement, l'indépendance et un intervalle de fluctuation, et les spécialistes étudient par congruences la divisibilité des rep-units et montrent qu'aucun rep-unit supérieur à 1 n'est un carré.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $2x\mathrm{e}^{-x^2}$ : variations, intégrale, densité de probabilité et médiane p. 1–6

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Variables à densité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = (ax+b)\mathrm{e}^{-x^2}$ , tangente à l'origine, $I_m = \int_0^m f(t)\,\mathrm{d}t$ , densité de probabilité, $P(X \leqslant x) = g(x) + 1$ , médiane

Exercice 2 — Vrai-faux : médiatrice, équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ et argument d'une puissance p. 1–2

Nombres complexes · Second degré — vrai-faux, $|z - 4| = |z + 2\mathrm{i}|$ , médiatrice, $(z-1)(z^2 - 8z + 25) = 0$ , nature du triangle des solutions, $(-\sqrt{3} + \mathrm{i})^8$

Exercice 3 — Suite $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ : conjecture, récurrence et algorithme de seuil p. 2–6

Suites numériques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n}$ , conjecture d'une forme explicite, raisonnement par récurrence, limite d'une suite, algorithme de seuil

Exercice 4 — Pyramide équilatère : orthogonalité, vecteur normal, projeté orthogonal et volumes p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — pyramide équilatère, droite orthogonale à un plan, $\vec{n}(1 ; 1 ; -3)$ , équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal, volume d'une pyramide, partage équitable

Exercice 5 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Loi normale, loi exponentielle sans vieillissement, indépendance et intervalle de fluctuation p. 3–4

Loi normale et vecteurs gaussiens · Loi exponentielle · Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests — détermination de $\sigma$ , probabilité conditionnelle, $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$ , durée de vie sans vieillissement, évènements indépendants, intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 5 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Rep-units : divisibilité par congruences et absence de carrés parfaits p. 4–5

Congruences et Z/nZ · Numération et écriture en base b · Suites arithmétiques et géométriques — rep-units, $N_p = \frac{10^p - 1}{9}$ , critère de divisibilité par 3, $10^p \equiv 1 \pmod{7}$ , division euclidienne, $n^2 \equiv 1 \pmod{20}$ , carré parfait

Bac Amérique du Sud Terminale 2016 — Session normale, 22 novembre 2016

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction 2xe−x22x\mathrm{e}^{-x^2} : variations, intégrale, densité de probabilité et médiane p. 1–6

Exercice 2 — Vrai-faux : médiatrice, équation de degré 3 dans ℂ\mathbb{C} et argument d'une puissance p. 1–2

Exercice 3 — Suite un+1=12−unu_{n+1} = \frac{1}{2 - u_n} : conjecture, récurrence et algorithme de seuil p. 2–6