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CCINP MP 2013 — Maths 1

Séries de Taylor et développement en série entière · 4 pages

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Deux exercices précèdent le problème : la série de Fourier du créneau impair, dont on déduit les sommes des $(-1)^k/(2k+1)$ et des $1/(2k+1)^2$ , puis la résolution d'un système différentiel linéaire $2 \times 2$ par exponentielle d'une matrice $2I$ + nilpotente. Le problème étudie le lien entre série de Taylor et développement en série entière : exemples ( $\sin x / x$ , théorème des moments), contre-exemples ( $\exp(-1/x^2)$ , une intégrale à paramètre dont la série de Taylor a un rayon nul) et la condition suffisante de dérivées uniformément bornées.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une série de Fourier p. 2

Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Formule de Parseval · Séries numériques — fonction créneau, théorème de Dirichlet, série de Leibniz, somme des $1/(2k+1)^2$ , coefficients de Fourier

Exercice 2 — Un système différentiel p. 2

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — système différentiel linéaire, matrice nilpotente, polynôme caractéristique, exponentielle de $tA$

Problème, partie préliminaire et Partie I — Exemples d'utilisation du théorème p. 2–3

Séries entières · Dérivabilité · Fonctions Gamma et Bêta · Problème des moments · Convergence uniforme et normale — formule de Taylor avec reste intégral, série de Taylor, unicité du développement en série entière, sinus cardinal, théorème des moments

Parties II et III — Contre-exemples et condition suffisante p. 3–4

Séries entières · Dérivabilité · Intégrales à paramètre · Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonction $\exp(-1/x^2)$ , fonction plate, rayon de convergence nul, dérivation sous l'intégrale, inégalité de Taylor-Lagrange, dérivées bornées

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann