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CCINP MP 2022 — Maths 2
Un premier exercice établit par récurrence la formule du déterminant de Vandermonde et l'applique au calcul de et à des sommes de puissances de nombres complexes distincts. Un second exercice définit l'exponentielle d'une matrice pour une norme d'algèbre, en prouve la continuité et la différentiabilité en . Le problème montre que l'exponentielle d'une matrice symétrique positive est symétrique positive, puis, grâce au produit de Hadamard et à la fermeture de l'ensemble des matrices symétriques positives, que la matrice des exponentielles des coefficients d'une telle matrice l'est aussi.
Le sujet, partie par partie
Exercice 1 — Déterminant de Vandermonde p. 2
Déterminants · Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Nombres complexes — déterminant de Vandermonde, récurrence, fonction polynomiale, sommes de puissances, déterminant de la matrice puissance
Exercice 2 — Exponentielle de matrice p. 3
Exponentielle de matrices · Calcul différentiel · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Continuité · Séries numériques — norme d'algèbre, série exponentielle, convergence normale, continuité de l'exponentielle, différentielle en
Problème, Partie I — Exponentielle d'une matrice symétrique p. 4
Matrices symétriques positives · Exponentielle de matrices · Théorème spectral · Diagonalisation · Matrices remarquables — matrice symétrique positive, matrice dont tous les coefficients valent , exponentielle de matrices qui commutent, matrices semblables, continuité de
Problème, Partie II — Produit de Hadamard de deux matrices p. 4–5
Matrices symétriques positives · Topologie des espaces de matrices · Théorème spectral · Exponentielle de matrices — produit de Hadamard, racine carrée d'une matrice symétrique positive, caractérisation par , cône des matrices positives, partie fermée, théorème de Schur