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AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PC 2015 — Mathématiques

Formule de Bernstein et loi de Poisson ; matrices à coefficients ±1\pm 1 et matrices de Hadamard · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le premier problème étudie la suite de fonctions fn(t)=e−ttn/n!f_n(t) = e^{-t} t^n / n! (convergence uniforme vers 00, intégrales à paramètre, convergence de la série) puis interprète e−n∑k⩽nnk/k!e^{-n} \sum_{k \leqslant n} n^k/k! comme P(Sn∗⩽0)P(S_n^* \leqslant 0) pour une somme de variables de Poisson indépendantes, en montrant que cette suite décroît vers une limite et en étudiant la fonction génératrice de SnS_n. Le second problème étudie les matrices à coefficients dans {−1,1}\{-1, 1\} : une matrice de Hadamard n'existe que si n=2n = 2 ou si 44 divise nn, on construit une matrice binaire inversible à tout ordre, et les valeurs propres d'une telle matrice sont de module au plus nn.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie 1 — Analyse p. 2–3

Convergence uniforme et normale · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Suites et séries de fonctions — suite de fonctions, convergence uniforme, convergence normale, fonction Gamma, dérivation sous le signe intégrale, formule de Stirling, série de fonctions

Problème 1, Partie 2 — Probabilité p. 4–5

Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Couples et sommes de variables aléatoires · Espérance, variance, moments · Dérivabilité · Analyse numérique · Théorème central limite et convergence en loi — loi de Poisson, somme de variables indépendantes, série génératrice, formule de Taylor avec reste intégral, variable centrée réduite, formule de Bernstein

Problème 2 — Algèbre : matrices binaires et matrices de Hadamard p. 5–7

Matrices remarquables · Déterminants · Matrices orthogonales et rotations · Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Localisation des valeurs propres — matrice de Hadamard, matrice à coefficients ±1\pm 1, opérations sur les lignes, déterminant multiple de 2n−12^{n-1}, symétrie vectorielle, localisation des valeurs propres, matrice orthogonale

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexesThéorème de Schwarz et intégrales à paramètreThéorème de convergence dominéeFonctions intégrablesL'intégrale de Lebesgue prolonge celle de RiemannIntégrale de RiemannUne série entière est holomorpheLois de Poisson et loi exponentielleSéries entières et rayon de convergenceVariables aléatoires, lois, fonctions de répartitionIndépendance d'événements et de tribusEspérance, variance et inégalitésDérivabilitéThéorème du point fixe de BanachThéorème central limite (méthode de Lindeberg)Matrices d'une application linéaireDéterminant d'un endomorphismeFormes multilinéaires alternéesLe groupe linéaire et l'inversion des matricesApplications linéairesThéorème du rang
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