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CCINP PC 2026 — Mathématiques

Réduction de matrices par blocs, autour de la loi géométrique, équation $f'(x) = f(\lambda x)$ · 8 pages

Le premier exercice réduit les matrices par blocs de la forme $\begin{pmatrix} A & A \\ A & A \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix}$ et caractérise leur diagonalisabilité à l'aide des polynômes annulateurs. Le deuxième détermine, pour des variables géométriques indépendantes, la loi de leur somme par fonction génératrice et celle de leur maximum, dont l'espérance est équivalente à $-\ln(n)/\ln(q)$ par comparaison série-intégrale. Le troisième résout l'équation $f'(x) = f(\lambda x)$ pour $\lambda$ dans $[-1, 1]$ et montre, par la formule de Taylor avec reste intégral, que pour $\lambda \neq 0$ les solutions sont les multiples d'une série entière explicite.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1, Partie I — Étude d'une première forme p. 2–3

Matrices par blocs · Diagonalisation · Matrices symétriques positives · Polynômes d'endomorphismes — matrice par blocs, polynôme caractéristique, polynôme annulateur, matrices semblables, matrice symétrique positive

Exercice 1, Partie II — Étude d'une seconde forme p. 3

Matrices par blocs · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation — puissances d'une matrice par blocs, polynôme annulateur scindé à racines simples, polynôme dérivé, critère de diagonalisabilité

Exercice 2, Partie I — Étude de la variable aléatoire $S_n$ p. 4

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Séries entières · Espérance, variance, moments — somme de lois géométriques indépendantes, fonction génératrice, loi binomiale négative, développement en série entière

Exercice 2, Parties II et III — Loi et équivalent de l'espérance du maximum $V_n$ p. 5

Loi géométrique · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espérance, variance, moments — maximum de variables aléatoires, fonction de répartition, comparaison série-intégrale, série harmonique, équivalent de l'espérance

Exercice 3 — Résolution d'une équation différentielle non ordinaire p. 6–7

Séries entières · Équations différentielles non linéaires · Convergence uniforme et normale · Espaces vectoriels et dimension · Équations linéaires d'ordre 2 — équation fonctionnelle $f'(x) = f(\lambda x)$ , développement en série entière, formule de Taylor avec reste intégral, dimension de l'espace des solutions

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Anneaux de polynômes Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espérance, variance et inégalités Intégrale de Riemann Suites réelles et limites Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices