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Centrale-Supélec PC 2018 — Maths 2

Fonction zêta, série entière associée et loi zêta · 4 pages

Le sujet étudie la fonction $\zeta$ sur $\left]1, +\infty\right[$ (continuité, encadrement par comparaison série-intégrale, limites et courbe), puis la fonction $f(x) = \sum \left(\frac{1}{n+x} - \frac{1}{n}\right)$ : domaine, équivalents, développement en série entière $\sum (-1)^k \zeta(k+1) x^k$ sur $\left]-1, 1\right[$ et représentations intégrales de $\zeta(k+1)$ . Il introduit enfin la loi zêta sur $\mathbb{N}^*$ , montre l'indépendance des événements de divisibilité par des nombres premiers distincts, en déduit le produit eulérien de $1/\zeta(x)$ et la probabilité $1/\zeta(2x)$ que deux variables zêta indépendantes soient premières entre elles, puis identifie la loi limite du pgcd de deux variables uniformes sur $[\![1, n]\!]$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Fonction zêta p. 1

Fonction zêta de Riemann · Comparaison série-intégrale · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison · Continuité — fonction zêta de Riemann, convergence normale, comparaison série-intégrale, limite en $1^+$ , allure de la courbe

Partie II — Étude d'une fonction définie par une somme p. 1–2

Convergence uniforme et normale · Séries entières · Interversion des limites · Équivalents et comparaison · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Fonctions spéciales — série de fonctions, fonction digamma, développement en série entière, inégalité de Taylor-Lagrange, intégration terme à terme, représentation intégrale de $\zeta$

Partie III — Probabilités et arithmétique : loi zêta p. 2–4

Conditionnement et indépendance · Produits infinis · Nombres premiers · Espérance, variance, moments · Fonction zêta de Riemann · PGCD, Bézout, Gauss · Variables aléatoires et lois usuelles · Théorie analytique des nombres — loi zêta, produit eulérien, indépendance mutuelle d'événements, entiers premiers entre eux, probabilité $1/\zeta(2)$ , pgcd de deux variables uniformes

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Indépendance d'événements et de tribus Suites, séries et parties compactes de ℂ Théorème fondamental de l'arithmétique Espérance, variance et inégalités PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Théorie analytique des nombres Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers