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Centrale-Supélec PC 2025 — Maths 1
Après avoir établi le cas d'égalité de l'inégalité d'Heisenberg pour les gaussiennes via leur transformée de Fourier, le sujet en construit un analogue discret à partir du laplacien d'un graphe. Il montre que le laplacien est symétrique positif, de noyau engendré par le vecteur constant pour un graphe connexe, puis étudie pour le graphe étoile la région de faisabilité des couples (étalement spectral, étalement spatial) et calcule explicitement la courbe d'incertitude.
Le sujet, partie par partie
Partie A — Autour du principe d'incertitude d'Heisenberg p. 1–2
Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Réduction des endomorphismes — transformée de Fourier d'une gaussienne, intégrale de Gauss, principe d'incertitude d'Heisenberg, dérivation sous l'intégrale, valeurs propres de la dérivée seconde
Partie B — Laplacien d'une matrice p. 2–3
Matrices symétriques positives · Graphes · Réduction des endomorphismes · Formes bilinéaires et quadratiques — laplacien d'un graphe, matrice d'adjacence, graphe connexe, matrices symétriques positives, noyau du laplacien, rang
Partie C — Région de faisabilité, courbe d'incertitude p. 3–4
Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Fonctions convexes · Continuité · Compacité · Réduction des endomorphismes · Graphes — quotient de Rayleigh, graphe étoile, région de faisabilité, fonction convexe, valeurs intermédiaires, principe d'incertitude matriciel
Partie D — Formule explicite pour la courbe d'incertitude p. 4–5
Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Polynômes · Espaces vectoriels et dimension — valeurs propres extrêmes, polynôme caractéristique, entrelacement des valeurs propres, trinôme du second degré, courbe d'incertitude