AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PSI 2024 — Maths 1

Intégrale de Gauss, fonction de Bessel et polynômes d'Hermite · 4 pages

Le sujet calcule l'intégrale de Gauss par les intégrales de Wallis, puis montre que la fonction $x \mapsto (1/\pi)\int_0^\pi \cos(x \sin t) \,\mathrm{d}t$ est l'unique solution développable en série entière valant $1$ en $0$ de l'équation $xy'' + y' + xy = 0$ . Il construit ensuite les polynômes d'Hermite, établit qu'ils sont orthogonaux pour le poids $e^{-x^2}$ , les obtient comme vecteurs propres d'un endomorphisme autoadjoint de $\mathbb{R}[X]$ , et prouve enfin, à l'aide d'une transformation de Fourier développable en série entière, que cette famille est totale.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Intégrale de Wallis et intégrale de Gauss p. 1–2

Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment — intégrales de Wallis, intégrale de Gauss, relation de récurrence, changement de variable, passage à la limite sous l'intégrale

Partie II — Autour d'une équation différentielle p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Fonctions de Bessel · Intégrales à paramètre — équation de Bessel $xy'' + y' + xy = 0$ , solution développable en série entière, intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale

Partie III — Polynômes d'Hermite et endomorphisme autoadjoint p. 2–3

Polynômes de Hermite · Théorème spectral · Diagonalisation · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Sous-espaces stables · Intégrales généralisées et intégrabilité — polynômes d'Hermite, produit scalaire à poids gaussien, base orthogonale, endomorphisme autoadjoint, vecteurs propres, relation de commutation

Partie IV — Une famille totale p. 3–4

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Transformées de Fourier et de Laplace · Séries entières · Polynômes de Hermite · Intégrales généralisées et intégrabilité · Interversion des limites — famille totale, base hilbertienne, transformée de Fourier, moments gaussiens, développement en série entière, orthogonal d'un sous-espace