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e3a-Polytech PC 2012 — Maths 2
Trois exercices indépendants. Le premier étudie la suite des primitives itérées d'une fonction continue nulles en , montre que leur somme converge vers une fonction de classe solution d'un problème de Cauchy, la retrouve par la formule de Taylor avec reste intégral, puis cherche les éléments propres d'un opérateur intégral. Le deuxième relie la convergence d'une suite de déterminants tridiagonaux à celle d'une série par un encadrement par un produit infini. Le troisième étudie une courbe paramétrée à trois points de rebroussement : symétries, tangentes, cercles tangents, invariance par rotation et longueur.
Le sujet, partie par partie
Exercice 1 — Primitives itérées et série de fonctions p. 2–3
Suites et séries de fonctions · Équations différentielles linéaires · Convergence uniforme et normale · Séries entières · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Opérateurs et théorie spectrale — primitives itérées, série de fonctions, problème de Cauchy, formule de Taylor avec reste intégral, opérateur intégral, valeurs propres d'un endomorphisme, fonction de classe
Exercice 2 — Déterminants tridiagonaux et produits infinis p. 3–4
Déterminants · Produits infinis · Séries numériques · Matrices remarquables · Suites numériques · Inégalités classiques — déterminant tridiagonal, relation de récurrence, produit infini, suite croissante majorée, série télescopique, convergence d'une série
Exercice 3 — Étude d'une courbe paramétrée p. 4
Courbes et surfaces · Géométrie affine et euclidienne — courbe paramétrée, point singulier, point de rebroussement, tangente, invariance par rotation, longueur d'un arc, hypocycloïde, deltoïde