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e3a-Polytech PSI 2022 — Mathématiques

Quatre exercices : loi discrète, opérateur de moyenne sur les polynômes, fonction de Bessel, matrices orthotransposables · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier étudie une variable aléatoire de loi $P(X = n) = 3\alpha/(n(n+1)(n+2)(n+3))$ et calcule son espérance et sa variance par télescopage. Le deuxième étudie l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ qui associe à $P$ sa moyenne intégrale $(1/(x - 1)) \int_1^x P(t)\,\mathrm{d}t$ , ses éléments propres et son inverse. Le troisième résout l'équation $x y'' + y' - 4 x y = 0$ par une série entière et l'identifie à l'intégrale à paramètre $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \exp(2x\cos t)\,\mathrm{d}t$ grâce aux intégrales de Wallis. Le quatrième montre que $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique, puis étudie les matrices semblables à leur transposée par une matrice orthogonale : toutes le sont en taille 2, et en dimension impaire $\det[M^\top, M] = 0$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Espérance et variance par télescopage p. 2

Espérance, variance, moments · Espaces probabilisés · Fractions rationnelles · Séries numériques — série télescopique, décomposition en éléments simples, loi sur $\mathbb{N}^*$ , espérance, variance

Exercice 2 — Endomorphisme de moyenne intégrale sur $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2

Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Racines et relations coefficients-racines · Calcul matriciel · Applications linéaires et rang — endomorphisme des polynômes de degré au plus $n$ , division euclidienne, automorphisme, matrice triangulaire, sous-espaces propres, multiplicité d'une racine

Exercice 3 — Série entière et intégrale à paramètre de $x y'' + y' - 4xy = 0$ p. 3–4

Séries entières · Intégrales à paramètre · Fonctions de Bessel · Équations linéaires d'ordre 2 · Interversion des limites · Intégrale sur un segment — fonction de Bessel modifiée, intégrales de Wallis, dérivation sous l'intégrale, solution développable en série entière, fonction périodique

Exercice 4 — Matrices orthotransposables p. 4–5

Matrices orthogonales et rotations · Théorème spectral · Matrices par blocs · Matrices remarquables · Déterminants — polynôme caractéristique de $AB$ et $BA$ , matrices symétriques, matrices antisymétriques, matrice semblable à sa transposée, commutateur, matrice orthotransposable

e3a-Polytech PSI 2022 — Mathématiques

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Espérance et variance par télescopage p. 2

Exercice 2 — Endomorphisme de moyenne intégrale sur ℝn[X]\mathbb{R}_n[X] p. 2

Exercice 3 — Série entière et intégrale à paramètre de xy′′+y′−4xy=0x y'' + y' - 4xy = 0 p. 3–4

Exercice 4 — Matrices orthotransposables p. 4–5

Dans l'édifice

Exercice 2 — Endomorphisme de moyenne intégrale sur $\mathbb{R}_n[X]$ p. 2

Exercice 3 — Série entière et intégrale à paramètre de $x y'' + y' - 4xy = 0$ p. 3–4