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Mines-Ponts MP 2011 — Maths 2

Sur le calcul des variations · 5 pages

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Le problème étudie le minimum de fonctionnelles intégrales $J(f) = \int (P(f) + Q(f'))$ sur des fonctions à bords fixés. Après la résolution de $y'''' + y'' + y = 0$ par diagonalisation de la matrice compagnon et un lemme de du Bois-Reymond, il établit la condition nécessaire d'Euler-Lagrange, l'illustre sur $\int f'^2$ (minimum atteint) et sur $\int (f'^2 + f'^3)$ (pas de minimum), puis montre que $J(f) = \int_0^{+\infty} (f^2 - f'^2 + f''^2)$ atteint son minimum en les multiples de $\psi(t) = e^{-t/2} \sin(\sqrt{3}\, t/2 - \pi/3)$ , et en déduit l'inégalité de Hardy-Littlewood $\|f'\|^2 \leqslant 2 \|f\| \|f''\|$ avec ses cas d'égalité.

Le sujet, partie par partie

A — Préliminaire p. 2

Diagonalisation · Systèmes différentiels linéaires · Équations différentielles linéaires · Nombres complexes · Matrices remarquables — racine cubique de l'unité, matrice compagnon, système différentiel $X' = AX$ , équation linéaire d'ordre 4, solutions réelles

B — Un lemme de du Bois-Reymond p. 3

Calcul des variations · Continuité · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — lemme de du Bois-Reymond, fonction plateau, fonction de classe $\mathcal{C}^2$ à support compact, lemme fondamental du calcul des variations

C — Une condition nécessaire d'Euler-Lagrange p. 3–4

Calcul des variations · Extrema et optimisation · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Polynômes — équation d'Euler-Lagrange, variation première, fonctionnelle intégrale, minimum non atteint, inégalité de Cauchy-Schwarz

D — Un exemple avec dérivée seconde p. 4–5

Calcul des variations · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations linéaires d'ordre 2 · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Intégrale sur un segment — espace $L^2$ , fonctions de carré intégrable, équation $y'''' + y'' + y = 0$ , intégration par parties, minimiseur explicite, complétion du carré

E — Application : une inégalité de Hardy et Littlewood p. 5

Inégalités fonctionnelles · Calcul des variations · Inégalités classiques — inégalité de Hardy-Littlewood, inégalité de Landau-Kolmogorov, changement d'échelle, cas d'égalité, normes $L^2$ des dérivées