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Mines-Ponts MP 2023 — Maths 2

Fonction de Wallis · 6 pages

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Le sujet étudie la fonction $f(x) = \int_0^{\pi/2} (\sin t)^x \, \mathrm{d}t$ sur $\left]-1, +\infty\right[$ après avoir établi $\sigma(1) = \pi^2/6$ pour $\sigma(x) = \sum_{k \geqslant 1} x^k/k^2$ . Il établit la relation $(x + 1)f(x) = (x + 2)f(x + 2)$ , montre que $f$ est convexe et décroissante, en donne des équivalents en $-1$ et en $+\infty$ ( $f(x) \sim \sqrt{\pi/(2x)}$ ), la développe en série entière sur $\left]-1, 1\right[$ grâce aux intégrales de $(\ln \sin t)^n$ , et calcule $f''(0)$ via un développement en série de cosinus de $\ln(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)$ . Il caractérise enfin $f$ , à la manière du théorème de Bohr-Mollerup, comme l'unique fonction ln-convexe vérifiant cette relation et $f(0) = \pi/2$ .

Le sujet, partie par partie

Préliminaires et 1 — Calcul de $\sigma(1)$ p. 2–3

Fonction zêta de Riemann · Intégrale sur un segment · Séries numériques · Séries de Fourier — problème de Bâle, somme des $1/k^2$ , lemme de Riemann-Lebesgue, intégration par parties, somme de cosinus, noyau de Dirichlet

2 — Équivalents p. 3

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Fonctions convexes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Suites numériques — intégrales de Wallis, relation de récurrence, fonction convexe décroissante, équivalent en $-1$ , équivalent en $+\infty$ , dérivation sous l'intégrale

3 — Développement en série entière p. 3–4

Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Interversion des limites · Fonctions Gamma et Bêta — développement en série entière, intégrales de $(\ln \sin t)^n$ , changement de variable, rayon de convergence, équivalent $D_n \sim (-1)^n n!$

4 — Convergence de suite de fonctions p. 4–5

Séries de Fourier · Suites et séries de fonctions · Formule de Parseval · Convergence uniforme et normale · Fonction zêta de Riemann — série de cosinus, formule de Parseval, convergence normale, convergence simple, calcul de $f''(0)$

5 — Convexité logarithmique p. 5–6

Fonctions convexes · Équations fonctionnelles · Inégalité de Jensen · Suites numériques — log-convexité, inégalité des pentes, équation fonctionnelle $(x+1)f(x) = (x+2)f(x+2)$ , caractérisation à la Bohr-Mollerup, caractérisation par unicité