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Mines-Ponts PC 2022 — Maths 1

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier · 6 pages

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Le sujet introduit $L(z) = \sum z^n/n$ sur le disque unité ouvert, montre que $\exp(L(z)) = 1/(1 - z)$ , puis définit $P(z) = \exp\left(\sum L(z^n)\right) = \prod 1/(1 - z^n)$ . Une étude fine en variable réelle donne $\ln P(e^{-t}) = \pi^2/(6t) + \ln(t)/2 - \ln(2\pi)/2 + o(1)$ quand $t$ tend vers $0^+$ . Il prouve que $P$ est la somme de la série entière $\sum p_n z^n$ , où $p_n$ est le nombre de partitions de $n$ , exprime $p_n$ par une intégrale sur un cercle et, en contrôlant $P$ sur ce cercle, obtient $p_n = O\left(\exp\left(\pi\sqrt{2n/3}\right)/n\right)$ .

Le sujet, partie par partie

A. Fonctions $L$ et $P$ p. 2–3

Séries entières · Produits infinis · Nombres complexes · Dérivabilité — logarithme complexe, série $\sum z^n/n$ , produit infini, disque unité ouvert, exponentielle de $L$

B. Développement asymptotique en variable réelle p. 3–4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Formule de Stirling · Intégrales à paramètre · Interversion des limites — partie entière, formule de Stirling, intégrale de $q(u)/u$ , $\zeta(2) = \pi^2/6$ , développement asymptotique, intégrale à paramètre

C. Développement de $P$ en série entière p. 4–5

Séries entières · Partitions et nombres combinatoires · Fonctions génératrices · Dénombrement et combinatoire · Séries de Fourier — partitions d'un entier, série génératrice, produit de Cauchy, rayon de convergence, formule de Cauchy pour les coefficients

D. Contrôle de $P$ et E. Conclusion p. 5–6

Développements asymptotiques · Partitions et nombres combinatoires · Nombres complexes · Inégalités classiques · Intégrale sur un segment — majoration de $p_n$ , inégalité $1 - \cos\theta \geqslant \alpha\theta^2$ , méthode du col, formule de Hardy-Ramanujan

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Sommes, produits et puissances Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Théorème fondamental de l'analyse