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X-ENS MP 2012 — Maths D

Invariants polynomiaux des formes binaires sous $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ · 8 pages

Le sujet démontre que l'algèbre des fonctions polynomiales sur l'espace des formes binaires de degré $m$ invariantes par $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ est engendrée par un nombre fini d'invariants. Il traite d'abord les polynômes homogènes et le cas des matrices symétriques $2 \times 2$ , où les invariants sont les polynômes en le déterminant, puis établit le théorème de la base de Hilbert par un ordre monomial et une division multivariée. Il caractérise ensuite les invariants à l'aide de deux opérateurs de dérivation et de leurs relations de commutation, et conclut par le processus Oméga de Cayley.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Fonctions polynomiales homogènes p. 2

Polynômes · Espaces vectoriels et dimension · Coefficients binomiaux · Applications linéaires et rang — polynômes à plusieurs variables, polynômes homogènes, dimension, somme directe, composition par une application linéaire

Partie II — Fonctions invariantes sur les matrices symétriques $2 \times 2$ p. 3

Théorie des invariants · Actions de groupes · Formes bilinéaires et quadratiques · Groupes de matrices · Polynômes · Densité · Déterminants — matrices symétriques complexes, congruence de matrices, $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ , fonction invariante, polynôme en le déterminant, continuité des fonctions polynomiales

Partie III — Ordre monomial et théorème de la base de Hilbert p. 3–4

Anneaux et idéaux · Théorie des invariants · Polynômes — ordre lexicographique, ordre monomial, division multivariée, idéal monomial, théorème de la base de Hilbert, anneau noethérien, idéal de type fini

Partie IV — Invariants des formes binaires et opérateurs de dérivation p. 5–7

Théorie des invariants · Actions de groupes · Groupes de matrices · Sous-espaces stables · Nilpotents, Jordan, Dunford · Groupes de Lie matriciels et algèbres de Lie · Espaces vectoriels et dimension · Coefficients binomiaux — formes binaires, invariants de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ , opérateurs de dérivation, relations de commutation, endomorphisme nilpotent, graduation par le poids, sous-anneau des invariants

Partie V — Processus Oméga de Cayley et finitude des invariants p. 7–8

Théorie des invariants · Anneaux et idéaux · Actions de groupes · Déterminants · Calcul différentiel · Groupes de matrices — processus Oméga de Cayley, opérateur différentiel, algèbre des invariants, théorème de finitude de Hilbert, générateurs d'une algèbre, dérivées partielles