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X-ENS MP 2016 — Maths C

Contrôlabilité, classes de Gevrey et contrôle de l'équation de la chaleur · 6 pages

Le sujet étudie la contrôlabilité à zéro : on montre d'abord qu'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$ peut être ramenée à l'état nul au temps $T$ par un second membre continu $u$ , puis que le système $y' = Ay + u(t)b$ est contrôlable si et seulement si $(b, Ab, \dots, A^{n-1}b)$ est une base de $\mathbb{R}^n$ (critère de Kalman), via une forme compagnon. Il introduit ensuite les classes de Gevrey d'ordre $s$ , en établit la stabilité par produit et par inverse, montre que $t \mapsto \exp(-1/t^2)$ et une fonction de raccord $\varphi$ sont Gevrey d'ordre $3/2$ grâce à la formule de Cauchy pour les séries entières, et en déduit le contrôle à zéro de l'équation de la chaleur sur $[0, 1]$ par la série $H(t, x) = \sum f^{(n)}(t)\, x^{2n}/(2n)!$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Équation différentielle scalaire p. 2

Équations différentielles linéaires · Interpolation polynomiale · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Applications linéaires et rang — contrôlabilité, interpolation d'Hermite, équation différentielle linéaire d'ordre $n$ , isomorphisme, problème de Cauchy

Partie 2 — Système différentiel p. 2–4

Systèmes différentiels linéaires · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices remarquables — critère de Kalman, contrôlabilité, matrice compagnon, vecteur cyclique, formule de Duhamel, polynôme caractéristique

Partie 3 — Classe de Gevrey : résultats généraux p. 4

Dérivabilité · Coefficients binomiaux · Inégalités classiques — classe de Gevrey, formule de Leibniz, dérivée $n$ -ième de l'inverse, majoration des dérivées successives

Partie 4 — Classe de Gevrey : exemples p. 5–6

Séries entières · Dérivabilité · Analyse complexe — fonction plate, $\exp(-1/t^2)$ , formule de Cauchy pour les coefficients, fonction de raccord, classe de Gevrey d'ordre $3/2$ , inégalité $n^n \leqslant e^{n-1} n!$

Partie 5 — Équation de la chaleur p. 6

Équations aux dérivées partielles · Suites et séries de fonctions · Interversion des limites · Convergence uniforme et normale — équation de la chaleur, contrôle à zéro, série de fonctions, condition de Neumann, dérivation terme à terme