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X-ENS MP 2017 — Maths C

Théorème de Fejér, équirépartition et théorème de Weyl · 5 pages

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Le sujet démontre le théorème de Fejér (convergence uniforme des moyennes de Cesàro $\sigma_N(f)$ des sommes de Fourier d'une fonction continue 1-périodique, via le noyau de Fejér) et la convergence uniforme de $S_n(f)$ pour $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ . Il caractérise l'équirépartition modulo 1 par les moyennes de fonctions continues puis par le critère de Weyl, montre que $(\alpha n + x)$ est équirépartie pour $\alpha$ irrationnel, établit l'inégalité et le lemme de van der Corput et en déduit le théorème de Weyl sur $(P(n))$ . Il termine par les nombres de Liouville, le théorème de Liouville sur l'approximation des algébriques, la transcendance de $\sum 10^{-n!}$ et une version quantitative en $C/N$ de l'équirépartition de $(\alpha n + x)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 1–2

Continuité · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Suites numériques — fonction périodique, uniforme continuité, lemme de Cesàro, partie entière

Partie II — Théorème de Fejér et applications p. 2–3

Convergence des séries de Fourier · Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Familles sommables et produit de Cauchy — noyau de Fejér, théorème de Fejér, moyennes de Cesàro, produit de convolution, coefficients de Fourier, polynômes trigonométriques

Partie III — Équirépartition p. 3–4

Équirépartition · Approximation des fonctions · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Densité · Séries de Fourier — équirépartition modulo 1, critère de Weyl, fonctions en escalier, sommes exponentielles, rotation irrationnelle, suite $\alpha n + x$

Partie IV — Théorème de Weyl p. 4–5

Équirépartition · Inégalités classiques · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Polynômes — inégalité de van der Corput, lemme de van der Corput, théorème de Weyl, suite $P(n)$ , récurrence sur le degré

Partie V — Approximation rationnelle et équirépartition quantitative p. 5

Nombres transcendants · Irrationalité et approximation diophantienne · Équirépartition · Séries de Fourier · Polynômes — nombres de Liouville, théorème de Liouville, nombre algébrique, approximation diophantienne, transcendance de la constante de Liouville, vitesse d'équirépartition

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Sommation d'Abel et intégrales impropres Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes La demi-droite achevée et les sommes positives Intégrale de Riemann Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intérieur, adhérence Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Anneaux de polynômes Éléments algébriques et polynôme minimal ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien