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X-ENS MP 2021 — Maths A

Sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ · 6 pages

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Le sujet montre que le cardinal d'un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ est borné par une constante ne dépendant que de $n$ . Il établit que les ordres possibles des éléments d'ordre fini forment un ensemble fini ( $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ pour $n = 2$ ), puis que la réduction modulo $3$ est injective sur un tel sous-groupe, d'où $\operatorname{card}(G) \leqslant 3^{n^2}$ . Pour un $p$ -groupe, il détermine les traces possibles par des congruences ( $\operatorname{Tr}(M^\ell) \equiv \operatorname{Tr}(M) \bmod \ell$ ), montre que $\operatorname{card}(G)$ divise la somme des $\operatorname{Tr}(g)^s$ par un argument de projecteur et de produits tensoriels, et en déduit $\operatorname{card}(G) \leqslant 4^n$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et préliminaires p. 2–4

Diagonalisation · Nombres premiers · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes — racines de l'unité, matrice d'ordre fini, valuation $p$ -adique de $m!$ , formule de Legendre, polynôme annulateur scindé à racines simples

Partie 1 — Éléments d'ordre fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 4

Groupes de matrices · Racines et relations coefficients-racines · Polynômes · Diagonalisation · Coefficients binomiaux · Polynômes cyclotomiques — $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , ordre d'un élément, polynôme caractéristique à coefficients entiers, relations coefficients-racines, majoration des coefficients

Partie 2 — Sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 4–5

Groupes de matrices · Congruences et Z/nZ · Nilpotents, Jordan, Dunford · Diagonalisation · Groupes — réduction modulo $m$ , morphisme injectif, matrice nilpotente, borne de Minkowski, sous-groupe fini

Partie 3 — Traces des éléments d'un $p$ -sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 5

Congruences et Z/nZ · Groupes de matrices · Coefficients binomiaux · Anneaux et idéaux · Déterminants · Nombres premiers · Polynômes — $p$ -groupe, trace, morphisme de Frobenius, congruence des traces, racines $p$ -ièmes de l'unité, idéal d'un anneau

Partie 4 — Cardinaux des $p$ -sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 6

Groupes de matrices · Représentations des groupes finis · Groupes · Matrices par blocs · Nombres premiers · Applications linéaires et rang · Groupes cycliques et ordre — projecteur de moyenne, produit de Kronecker, noyau d'un morphisme, théorème de Lagrange, cardinal d'un $p$ -groupe

X-ENS MP 2021 — Maths A

Le sujet, partie par partie

Notations et préliminaires p. 2–4

Partie 1 — Éléments d'ordre fini de GLn(ℤ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) p. 4

Partie 2 — Sous-groupes finis de GLn(ℤ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) p. 4–5

Partie 3 — Traces des éléments d'un pp-sous-groupe de GLn(ℤ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) p. 5

Partie 4 — Cardinaux des pp-sous-groupes de GLn(ℤ)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) p. 6

Dans l'édifice

Partie 1 — Éléments d'ordre fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 4

Partie 2 — Sous-groupes finis de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 4–5

Partie 3 — Traces des éléments d'un $p$ -sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 5

Partie 4 — Cardinaux des $p$ -sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ p. 6