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X-ENS MP 2023 — Maths D

Propriétés de finitude des anneaux et matrices sur un anneau commutatif · 7 pages

Le sujet étudie les groupes abéliens et les anneaux commutatifs de type fini (propriétés (F) et (TF)), leur comportement par morphisme et les sous-groupes de $\mathbb{Z}^n$ , puis développe la théorie du déterminant sur un anneau commutatif quelconque (comatrice, multiplicativité, caractérisation des matrices inversibles par $\det M \in A^*$ ). Il montre ensuite que les pgcd des mineurs de taille $k$ sont invariants par $\mathbb{Z}$ -équivalence et compare $\mathbb{Z}$ -équivalence et $\mathbb{C}$ -équivalence, et termine par la dimension maximale $m_r$ d'un sous-espace de matrices de rang au plus $r$ (théorème de Flanders).

Le sujet, partie par partie

Partie I — Groupes et algèbres de type fini p. 4

Anneaux et idéaux · Groupes · Polynômes — groupe abélien de type fini, algèbre de type fini, polynômes à plusieurs indéterminées

Partie II — Morphismes et sous-groupes de $\mathbb{Z}^n$ p. 3–4

Anneaux et idéaux · Groupes · Modules et forme normale de Smith · Polynômes — morphisme d'anneaux, sous-groupes de $\mathbb{Z}^n$ , rang, propriété universelle

Partie III — Déterminants sur un anneau commutatif p. 3–5

Déterminants · Anneaux et idéaux · Matrices par blocs — comatrice, $\det(MN) = \det(M)\det(N)$ , anneau intègre, matrice inversible sur un anneau

Partie IV — Équivalence de matrices de $\mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{Z})$ et $\mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{C})$ p. 5–6

Modules et forme normale de Smith · Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Déterminants · Groupes de matrices — matrices équivalentes, pgcd des mineurs, $\mathrm{GL}_r(A)$ , $\mathbb{Z}$ -équivalence et $\mathbb{C}$ -équivalence

Partie V — Sous-espaces de matrices de petit rang p. 6–7

Applications linéaires et rang · Matrices par blocs · Dualité · Déterminants · Espaces vectoriels et dimension — théorème de Flanders, rang, mineurs, dimension maximale