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Agrégation interne 2014 — Épreuve 2

Polynômes de Bernstein : théorème de Weierstrass, fonctions höldériennes et courbes de Bézier · 7 pages

Le sujet introduit les polynômes de Bernstein à partir de la loi binomiale et en déduit une démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de Jensen. Il majore ensuite l'erreur d'approximation pour une fonction $\alpha$ -höldérienne (en $O(n^{-\alpha/2})$ ) grâce à l'inégalité de Hölder, montre que la suite des dérivées des polynômes de Bernstein d'une fonction converge vers sa dérivée, puis étudie les courbes de Bézier et un estimateur de Bézier d'une fonction de répartition.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Une démonstration probabiliste du théorème de Weierstrass p. 2–3

Théorème de Weierstrass · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Convergence uniforme et normale · Inégalité de Jensen · Espaces vectoriels et dimension · Espérance, variance, moments — polynômes de Bernstein, théorème de Weierstrass, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de Jensen, base de Bernstein, loi binomiale, convergence uniforme

Partie II — Approximation des fonctions höldériennes p. 4–5

Approximation des fonctions · Inégalités de Hölder et de Minkowski · Fonctions convexes · Espérance, variance, moments · Espaces vectoriels et dimension · Continuité — fonction höldérienne, inégalité de Hölder, fonction lipschitzienne, polynômes de Bernstein, vitesse de convergence, fonction strictement concave

Partie III — Approximation de la dérivée par les polynômes de Bernstein p. 5–6

Interversion des limites · Convergence uniforme et normale · Espérance, variance, moments · Dérivabilité · Lois de Bernoulli et binomiale · Approximation des fonctions — dérivée des polynômes de Bernstein, moment d'ordre 4, contre-exemple, convergence uniforme et dérivation, arctangente

Partie IV — Courbes et estimateur de Bézier p. 6–7

Barycentres et courbes de Bézier · Courbes et surfaces · Variables à densité · Statistique : estimation et tests · Ensembles convexes · Lois des grands nombres et théorèmes limites — courbe de Bézier, points de contrôle, tangente, enveloppe convexe, fonction de répartition, estimateur de Bézier, convergence en loi, convergence en moyenne quadratique

Dans l'édifice

Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Une série entière est holomorphe Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété La loi normale Lois de Poisson et loi exponentielle Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Théorème de Hahn-Banach Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne