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Agrégation interne 2018 — Épreuve 2

Distance à une partie et courbe médiatrice de deux fermés · 12 pages

Le sujet étudie la fonction distance à une partie d'un espace métrique (caractérisation de l'adhérence, caractère 1-lipschitzien, distance atteinte sur un compact ou un fermé d'un espace euclidien, distance à un hyperplan) et l'applique dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de la norme subordonnée euclidienne : grâce à la décomposition polaire, il montre que $d(0, \mathrm{SL}_n(\mathbb{R})) = 1$ et que la distance de $T$ inversible aux matrices singulières vaut $1/\|T^{-1}\|$ . Une partie d'analyse étudie les points du graphe de $f(x) = 2x/(e^x + 1)$ à égale distance de l'axe des abscisses et calcule $\int_0^\infty f = \pi^2/6$ . Enfin, il montre que la courbe médiatrice $\{d_A = d_B\}$ de deux fermés séparés par une droite est le graphe d'une fonction continue, localement lipschitzienne, et que pour deux compacts elle admet une asymptote, médiatrice d'un segment porté par la droite d'appui commune.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I-A — Généralités sur la distance à un fermé p. 5–6

Topologie, compacité, connexité · Compacité · Géométrie affine et euclidienne · Continuité — distance à une partie, espace métrique, adhérence, fonction lipschitzienne, partie fermée, distance à un hyperplan

Partie I-B — Quelques exemples dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 7–8

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Topologie des espaces de matrices · Isométries et groupe orthogonal · Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Groupes de matrices · Séries numériques — norme subordonnée euclidienne, décomposition polaire, groupe spécial linéaire, distance aux matrices singulières, série de Neumann, matrices inversibles

Partie II — Points d'une courbe à égale distance d'une droite p. 8

Dérivabilité · Interversion des limites · Continuité · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison · Informatique et algorithmique — étude de fonction, bijection réciproque, intégration terme à terme, somme des inverses des carrés, équivalent en $0$ , valeur approchée d'un maximum

Partie III — Courbe médiatrice de deux fermés dans $\mathbb{R}^2$ p. 9–10

Géométrie affine et euclidienne · Continuité · Compacité · Coniques et quadriques · Suites numériques — courbe médiatrice, distance à un fermé, valeur d'adhérence, fonction lipschitzienne, parabole, rotation

Partie IV — Existence d'asymptotes lorsque $A$ et $B$ sont compacts p. 10–12

Géométrie affine et euclidienne · Compacité · Continuité — asymptote, droite d'appui, médiatrice d'un segment, $\inf \sup$ , bijection strictement décroissante, fonction lipschitzienne

Agrégation interne 2018 — Épreuve 2

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I-A — Généralités sur la distance à un fermé p. 5–6

Partie I-B — Quelques exemples dans ℳn(ℝ)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) p. 7–8

Partie II — Points d'une courbe à égale distance d'une droite p. 8

Partie III — Courbe médiatrice de deux fermés dans ℝ2\mathbb{R}^2 p. 9–10

Partie IV — Existence d'asymptotes lorsque AA et BB sont compacts p. 10–12

Dans l'édifice

Partie I-B — Quelques exemples dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 7–8

Partie III — Courbe médiatrice de deux fermés dans $\mathbb{R}^2$ p. 9–10

Partie IV — Existence d'asymptotes lorsque $A$ et $B$ sont compacts p. 10–12