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Agrégation interne 2020 — Épreuve 2

Différentiabilité de la fonction distance à une partie fermée · 9 pages

Le problème étudie la différentiabilité de la fonction $d_F : x \mapsto d(x, F)$ pour une partie fermée non vide $F$ d'un espace euclidien. Après la projection sur un convexe fermé, il traite la dimension 1 (distance à $\mathbb{Z}$ et sa série de Fourier, qui donne $\zeta(2)$ et $\zeta(4)$ , décomposition d'un ouvert de $\mathbb{R}$ en intervalles), puis des cas particuliers (point, sous-espace, sphère unité) ; il montre enfin qu'en un point $a$ hors de $F$ , $d_F$ est différentiable si et seulement si $a$ admet un unique point le plus proche $\pi(a)$ , avec alors $\nabla d_F(a) = (a - \pi(a))/d_F(a)$ , et qu'en un point de $F$ le gradient éventuel est nul.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 3–4

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Compacité · Ensembles convexes · Espaces vectoriels normés · Projection orthogonale et moindres carrés — distance à une partie, fonction lipschitzienne, identité du parallélogramme, projection sur un convexe fermé, caractérisation de la projection, point le plus proche

Partie II — Étude en dimension 1 p. 5–6

Dérivabilité · Convergence des séries de Fourier · Topologie, compacité, connexité · Fonction zêta de Riemann · Formule de Parseval · Ensembles et dénombrabilité — distance à $\mathbb{Z}$ , série de Fourier, somme des $1/n^2$ , somme des $1/n^4$ , ouvert de $\mathbb{R}$ réunion d'intervalles, relation d'équivalence, dérivabilité à droite, frontière

Partie III — Étude de cas particuliers en dimension $n$ p. 6–7

Calcul différentiel · Projection orthogonale et moindres carrés · Topologie, compacité, connexité — gradient, différentiabilité, distance à un point, distance à un sous-espace vectoriel, projecteur orthogonal, partie fermée du plan

Partie IV — Distance à la sphère unité p. 7

Calcul différentiel · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Géométrie affine et euclidienne — sphère unité, distance à la sphère, gradient, non-différentiabilité, plan vectoriel, cercle unité

Partie V — Une condition nécessaire de différentiabilité à l'extérieur de $F$ p. 8

Calcul différentiel · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Espaces préhilbertiens et euclidiens — gradient de la distance, unicité du projeté, cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, dérivée directionnelle, segment

Partie VI — Étude de la réciproque p. 8–9

Calcul différentiel · Compacité · Suites numériques · Espaces préhilbertiens et euclidiens — valeur d'adhérence, suite bornée, semi-continuité de la projection, trinôme du second degré, développement limité à l'ordre 1, fonction de classe $\mathcal{C}^1$

Partie VII — Une condition nécessaire de différentiabilité en un point de $F$ p. 9

Calcul différentiel · Topologie, compacité, connexité — gradient nul, intérieur, frontière, développement limité

Agrégation interne 2020 — Épreuve 2

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 3–4

Partie II — Étude en dimension 1 p. 5–6

Partie III — Étude de cas particuliers en dimension nn p. 6–7

Partie IV — Distance à la sphère unité p. 7

Partie V — Une condition nécessaire de différentiabilité à l'extérieur de FF p. 8

Partie VI — Étude de la réciproque p. 8–9

Partie VII — Une condition nécessaire de différentiabilité en un point de FF p. 9

Dans l'édifice

Partie III — Étude de cas particuliers en dimension $n$ p. 6–7

Partie V — Une condition nécessaire de différentiabilité à l'extérieur de $F$ p. 8

Partie VII — Une condition nécessaire de différentiabilité en un point de $F$ p. 9