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Agrégation interne 2025 — Épreuve 2

Ellipsoïde de John d'un corps convexe symétrique · 13 pages

Après un vrai/faux et une étude des matrices symétriques positives (racine carrée, convexité, densité), le sujet montre qu'un corps convexe symétrique est la boule unité de sa jauge, étudie la projection sur un convexe compact puis les ellipsoïdes. Il établit l'existence et l'unicité de l'ellipsoïde de volume maximal inclus dans un corps convexe (inégalité de Minkowski pour le déterminant), démontre le théorème de John et en déduit l'encadrement $E \subset C \subset \sqrt{n}\, E$ , optimal grâce à des variables de Rademacher.

Le sujet, partie par partie

Vrai/faux p. 5–7

Intégrales généralisées et intégrabilité · Variables aléatoires et lois usuelles · Intégrale sur un segment · Densité · Ensembles convexes · Espaces probabilisés — loi de Rademacher, intégrale de $\ln t/(1+t^2)$ , densité, réunion de convexes, loi de probabilité sur $\mathbb{N}$

Exercice préliminaire — Matrices symétriques positives p. 7

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Topologie des espaces de matrices · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Densité — matrices symétriques positives, matrices définies positives, racine carrée d'une matrice, produit scalaire de Frobenius, densité des matrices définies positives

Première partie — Jauge d'un corps convexe symétrique p. 7–8

Espaces vectoriels normés · Ensembles convexes — jauge, corps convexe symétrique, boule unité d'une norme, jauge de Minkowski

Deuxième partie — Généralités sur les ensembles convexes p. 8–9

Ensembles convexes · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Compacité — projection sur un convexe compact, caractérisation angulaire de la projection, application 1-lipschitzienne, hyperplan d'appui

Troisième partie — Sur les ellipsoïdes p. 9–10

Matrices symétriques positives · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème spectral · Ensembles convexes · Déterminants — ellipsoïde, volume d'un ellipsoïde, théorème de Courant-Fischer, caractérisation min-max des valeurs propres, inclusion d'ellipsoïdes

Quatrième partie — Existence d'un ellipsoïde de mesure maximale p. 10

Compacité · Matrices symétriques positives · Espaces vectoriels normés — ellipsoïde de volume maximal, compacité, extraction d'une suite convergente, borne supérieure

Cinquième partie — Unicité de l'ellipsoïde de mesure maximale p. 10–11

Fonctions convexes · Matrices symétriques positives · Déterminants · Inégalité arithmético-géométrique — inégalité de Minkowski pour le déterminant, log-concavité du déterminant, stricte convexité, inégalité arithmético-géométrique

Sixième partie — Le théorème de John, sens indirect p. 11–12

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Ensembles convexes · Diagonalisation · Inégalité arithmético-géométrique — théorème de John, points de contact, décomposition de l'identité, hyperplan tangent à la sphère

Septième partie — Le théorème de John, sens direct p. 12–13

Ensembles convexes · Compacité · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — théorème de John, enveloppe convexe, séparation d'un point et d'un convexe compact, théorème de Carathéodory, propriété de Borel-Lebesgue

Huitième partie — Une conséquence du théorème de John p. 13

Ensembles convexes · Espérance, variance, moments · Variables aléatoires et lois usuelles — théorème de John, constante $\sqrt{n}$ optimale, cube, variables de Rademacher