AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2016 — Session normale, juin 2016

Vrai-faux (loi normale, nombre de solutions d'une équation, droites de l'espace), partage d'une aire et suite récurrente, loi binomiale, intervalle de confiance et probabilités conditionnelles, spirale de points complexes ou chiffrement de Hill · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un vrai-faux portant sur une loi normale, sur le nombre de solutions de $x - \cos x = 0$ dans $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ et sur la position relative de droites et d'un plan de l'espace. Le deuxième exercice cherche, à l'aide d'une primitive, le réel $a$ qui partage en deux aires égales le domaine situé sous une courbe, puis approche ce réel pour $f(x) = 4 - 3x^2$ par la suite $u_{n+1} = g(u_n)$ avec $g(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{3}{8}$ . Le troisième exercice traite un sondage par une loi binomiale, un intervalle de confiance et un arbre pondéré qui corrige l'effet des réponses non sincères. Au choix, les non-spécialistes étudient l'aire délimitée par une ligne brisée en spirale joignant les points d'affixes $z_k = \left(1 + \frac{k}{n}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}}$ , avec deux algorithmes, et les spécialistes le chiffrement de Hill par une matrice $2 \times 2$ et un inverse modulo 26.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Vrai-faux : loi normale, nombre de solutions d'une équation, droites et plan de l'espace p. 1

Loi normale et vecteurs gaussiens · Continuité · Géométrie vectorielle dans l'espace · Dérivabilité — vrai ou faux, loi normale $\mathcal{N}(200, 10^2)$ , $x - \cos x = 0$ , nombre de solutions d'une équation, représentation paramétrique, position relative de deux droites, position relative d'une droite et d'un plan

Exercice II — Partage d'une aire par une primitive et suite récurrente $u_{n+1} = g(u_n)$ p. 1–2

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme — aire sous une courbe, primitive, $F(a) = \frac{F(0) + F(1)}{2}$ , raisonnement par récurrence, suite monotone bornée, valeur approchée de la limite

Exercice III — Sondage : loi binomiale, intervalle de confiance et réponses non sincères p. 3–4

Lois de Bernoulli et binomiale · Statistique : estimation et tests · Conditionnement et indépendance · Probabilités totales et formule de Bayes — $P(X \geqslant 400)$ , taille minimale d'échantillon, intervalle de confiance à 95 %, amplitude d'un intervalle de confiance, arbre pondéré, probabilités totales

Exercice IV — Candidats n'ayant pas choisi la spécialité — Spirale de points d'affixes complexes, aires de triangles et algorithmes p. 4–6

Nombres complexes · Informatique et algorithmique · Fonctions trigonométriques · Suites numériques — forme exponentielle, module et argument, hauteur et aire d'un triangle, $A_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_{n-1}$ , boucle Pour, boucle Tant que, algorithme de seuil

Exercice V — Candidats ayant choisi la spécialité — Chiffrement de Hill : matrice $2 \times 2$ et inverse modulo 26 p. 6–8

Cryptographie · Calcul matriciel · PGCD, Bézout, Gauss · Informatique et algorithmique — chiffrement de Hill, théorème de Bézout, inverse modulo 26, $12A - A^2$ , congruences, déchiffrement, algorithme