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CAPES externe 2011 — Écrit disciplinaire appliqué

Ellipsoïde de volume minimal contenant un compact · 5 pages

Le problème démontre que tout compact de $\mathbb{R}^n$ d'intérieur non vide est inclus dans un unique ellipsoïde de volume minimal (ellipsoïde de John-Löwner). Il traite d'abord le cas d'un triangle équilatéral dans le plan (ellipse circonscrite d'aire minimale, triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle), puis étudie les matrices symétriques définies positives (critère des mineurs principaux, ouverture), la réduction simultanée, la stricte convexité de $A \mapsto 1/\sqrt{\det A}$ et conclut par un argument de compacité et de convexité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Cas d'un triangle équilatéral p. 2–3

Géométrie affine et euclidienne · Coniques et quadriques · Points critiques et hessienne · Compacité · Nombres complexes — ellipse circonscrite, triangle équilatéral, aire d'un triangle inscrit, cercle circonscrit, affinité orthogonale, maximum d'une fonction de deux variables

Partie II — Étude de $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ p. 3

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Déterminants · Matrices par blocs · Topologie, compacité, connexité — matrice symétrique définie positive, mineurs principaux, critère de Sylvester, décomposition $A = {}^t\!Q\, Q$ , matrice bordée, ouvert de $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$

Partie III.1 et III.2 — Réduction simultanée et convexité p. 3–4

Matrices symétriques positives · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Fonctions convexes · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Compacité · Ensembles convexes — réduction simultanée, produit scalaire associé à $A$ , endomorphisme autoadjoint, fonction strictement convexe, unicité du minimum, ellipsoïde

Partie III.3 — Volume d'un ellipsoïde p. 4

Fonctions convexes · Déterminants · Matrices symétriques positives · Intégrales multiples · Continuité — volume d'un ellipsoïde, stricte convexité de $1/\sqrt{\det}$ , log-concavité du déterminant, convexité de l'exponentielle, image d'un ellipsoïde par une matrice inversible

Partie III.4 — Inclusion dans un ellipsoïde p. 5

Compacité · Ensembles convexes · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Matrices symétriques positives · Topologie, compacité, connexité — ellipsoïde de John-Löwner, compact d'intérieur non vide, norme subordonnée, partie fermée bornée, existence et unicité d'un minimum, ellipse d'aire minimale