AnnalesEnseignement

CAPES externe bac+3 2026 — Épreuve 1

Vrai-faux, suite d'intégrales, puissances universelles et lancers de dés · 8 pages

Quatre exercices indépendants : un vrai-faux d'analyse et d'algèbre ; l'étude de la suite $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}$ , encadrée à l'aide de $H_n = 1 + 1/2 + \cdots + 1/n$ et de la somme des $1/k^2$ , jusqu'à l'équivalent $I_n \sim 1/(n! \ln n)$ ; la recherche des puissances universelles dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , à l'aide du petit théorème de Fermat, puis dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ pour les matrices diagonalisables et les rotations ; enfin un problème de lancers de dés où l'on relance ceux qui n'ont pas donné 6, le nombre de 6 obtenus après $n$ lancers suivant une loi binomiale établie par la formule des probabilités totales et une suite arithmético-géométrique.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai/Faux p. 2

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Racines et relations coefficients-racines · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Équations différentielles linéaires — vrai ou faux, point critique et extremum, racines de l'unité, polynôme de degré impair, produit scalaire

Exercice 2 — Une suite d'intégrales p. 2–4

Équivalents et comparaison · Intégrale sur un segment · Séries numériques · Comparaison série-intégrale · Fractions rationnelles — série harmonique, convergence de $H_n - \ln(n)$ , équivalent de $I_n$ , inégalité $\ln(1+t) \geqslant t - t^2$ , séries de Riemann

Exercice 3 — Puissances universelles p. 4–5

Congruences et Z/nZ · Diagonalisation · Petit théorème de Fermat et indicatrice d'Euler · Matrices orthogonales et rotations · Anneaux et idéaux — puissance universelle, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , petit théorème de Fermat, matrice commutant avec une matrice diagonale, matrice de rotation

Exercice 4 — Tous à 6 p. 6–7

Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes · Suites récurrentes linéaires · Coefficients binomiaux — loi binomiale, formule des probabilités totales, suite arithmético-géométrique, lancers de dés