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CCINP PC 2014 — Maths 2

Opérateurs de convolution sur les fonctions continues $2\pi$ -périodiques · 4 pages

Le sujet étudie des endomorphismes de l'espace des fonctions continues $2\pi$ -périodiques définis par des intégrales à noyau. Il montre d'abord que $\Phi(f)(x) = \int_{-\pi}^{\pi} |\sin((x-t)/2)| f(t) \,\mathrm{d}t$ , réalise un isomorphisme de cet espace sur le sous-espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ , via l'équation $g'' + g/4 = f$ et les coefficients de Fourier, puis détermine les valeurs propres de l'opérateur associé au noyau de Poisson. Il termine par le produit de convolution général : continuité pour la norme quadratique, ensemble des valeurs propres égal à l'ensemble des coefficients de Fourier du noyau, critère d'injectivité.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'un premier opérateur p. 1–2

Séries de Fourier · Intégrales à paramètre · Équations linéaires d'ordre 2 · Convergence des séries de Fourier · Applications linéaires et rang · Séries numériques — coefficients de Fourier exponentiels, valeur absolue de sinus, intégrale à paramètre, isomorphisme, équation $g'' + g/4 = f$ , calcul de sommes de séries

Partie II — Étude d'un deuxième opérateur p. 3

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Réduction des endomorphismes · Interversion des limites · Applications linéaires et rang — noyau de Poisson, convergence normale, intégration terme à terme, dérivation terme à terme, valeurs propres d'un opérateur, injectivité et surjectivité

Partie III — Produit de convolution, opérateurs associés p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries de Fourier · Opérateurs et théorie spectrale · Formule de Parseval · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Espaces préhilbertiens et euclidiens — produit de convolution, absence d'élément neutre, norme quadratique, continuité d'un opérateur, spectre d'un opérateur de convolution, injectivité

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires Théorème du rang Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Une série entière est holomorphe Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz