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CCINP PC 2018 — Mathématiques

Polynômes de Legendre : éléments propres, orthogonalité, fonction génératrice et quadrature de Gauss · 8 pages

Le sujet définit les polynômes de Legendre par la formule de Rodrigues $L_n = \frac{1}{2^n n!} \left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$ et montre, grâce au théorème de Rolle, qu'ils ont $n$ racines simples dans $\left]-1, 1\right[$ . Il les identifie aux vecteurs propres de l'endomorphisme $\varphi(P) = \left((X^2-1)P'\right)'$ , autoadjoint pour le produit scalaire $\int PQ$ sur $[-1, 1]$ , en déduit leur orthogonalité et l'inégalité de Bessel, puis calcule leur fonction génératrice $1/\sqrt{t^2 - 2xt + 1}$ et leur expression intégrale de Laplace. Il termine par la méthode de quadrature de Gauss aux racines de $L_n$ , exacte sur $\mathbb{R}_{2n-1}[X]$ , avec une majoration de l'erreur par interpolation d'Hermite.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Quelques résultats généraux p. 2–3

Polynômes de Legendre · Racines et relations coefficients-racines · Dérivabilité · Espaces vectoriels et dimension — polynômes de Legendre, formule de Rodrigues, théorème de Rolle, racines simples, ordre de multiplicité, base de $\mathbb{R}_n[X]$

Partie II — Étude des éléments propres de l'endomorphisme $\varphi$ p. 3

Diagonalisation · Sous-espaces stables · Polynômes de Legendre · Calcul matriciel · Dérivabilité — endomorphisme induit, matrice triangulaire supérieure, valeurs propres distinctes, formule de Leibniz, vecteurs propres, sous-espaces propres

Partie III — Distance au sous-espace vectoriel $\mathbb{R}_n[X]$ p. 4

Projection orthogonale et moindres carrés · Polynômes de Legendre · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Intégrale sur un segment — produit scalaire intégral, famille orthonormale, distance à un sous-espace, inégalité de Bessel, endomorphisme autoadjoint, intégration par parties

Partie IV — Fonction génératrice p. 5

Séries entières · Fonctions génératrices · Équations différentielles linéaires · Polynômes de Legendre — rayon de convergence, relation de récurrence à trois termes, équation différentielle du premier ordre, fonction génératrice des polynômes de Legendre

Partie V — Expression intégrale des polynômes de Legendre p. 5–6

Interversion des limites · Intégrale sur un segment · Séries entières · Convergence uniforme et normale · Nombres complexes · Polynômes de Legendre — convergence normale, intégration terme à terme, changement de variable, intégrale de Laplace, rayon de convergence, série entière complexe

Partie VI — Application à l'approximation d'intégrales p. 6–7

Quadrature numérique · Interpolation polynomiale · Polynômes de Legendre · Dualité · Dérivabilité · Formule de Stirling — quadrature de Gauss, formes linéaires d'évaluation, interpolation d'Hermite, erreur d'interpolation, théorème de Rolle généralisé, division euclidienne, équivalent