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CCINP PC 2024 — Mathématiques

Racine cubique d'une matrice, la fonction $\ln \Gamma$ , temps d'attente avant une collision · 8 pages

Trois exercices indépendants. Le premier détermine les racines cubiques d'une matrice diagonalisable de taille 2, construit une racine cubique de toute matrice diagonalisable réelle et montre qu'une racine cubique d'une matrice diagonalisable inversible est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . Le deuxième caractérise $\ln \Gamma$ comme unique fonction $\mathcal{C}^1$ à dérivée croissante vérifiant $f(x+1) - f(x) = \ln x$ et $f(1) = 0$ , obtenue comme somme d'une série de fonctions, et en déduit la formule de duplication à l'aide de la formule de Stirling. Le troisième étudie le premier instant de répétition lors de tirages avec remise dans une urne à $n$ boules (paradoxe des anniversaires) et montre que son espérance est équivalente à $\sqrt{\pi n/2}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1, Parties I et II — Racines cubiques : un exemple et le plan euclidien p. 2

Diagonalisation · Matrices orthogonales et rotations · Sous-espaces stables — racine cubique d'une matrice, matrices qui commutent, rotation, matrice orthogonale de déterminant $-1$

Exercice 1, Partie III — Racines cubiques et diagonalisation p. 3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices par blocs · Nombres complexes · Racines et relations coefficients-racines — racine cubique d'une matrice, polynôme annulateur scindé à racines simples, racines $n$ -ièmes, matrice diagonale par blocs

Exercice 2, Partie I — Existence d'une fonction solution ( $\ln \Gamma$ ) p. 4

Convergence uniforme et normale · Fonctions Gamma et Bêta · Séries numériques · Développements limités — série de fonctions, convergence normale sur tout segment, fonction $\ln \Gamma$ , équation fonctionnelle $f(x+1) - f(x) = \ln x$

Exercice 2, Parties II et III — Unicité, formule de duplication p. 5

Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Formule de Stirling — théorème de Bohr-Mollerup, dérivée croissante, fonction périodique, formule de duplication de Legendre, formule de Stirling

Exercice 3, Partie I — Une expression de l'espérance du temps de collision p. 6

Espérance, variance, moments · Dénombrement et combinatoire · Espaces probabilisés — paradoxe des anniversaires, tirages avec remise, loi uniforme, espérance par la fonction de queue, arrangements

Exercice 3, Parties II et III — Expression intégrale et équivalent de l'espérance p. 7–8

Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Fonctions Gamma et Bêta · Séries entières — $I_k = \int_0^\infty t^k e^{-t} \,\mathrm{d}t = k!$ , changement de variable, développement en série de $\ln(f_n(u))$ , intégrale de Gauss, équivalent $\sqrt{\pi n/2}$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Applications linéaires Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Dérivabilité Intégrale de Riemann Espérance, variance et inégalités Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques