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CCINP PSI 2019 — Mathématiques

Théorème de Borel ; valeurs propres d'une matrice tridiagonale et système différentiel · 8 pages

Le premier problème exhibe deux fonctions $\mathcal{C}^\infty$ dont la série de Taylor en $0$ a un rayon nul, puis démontre le théorème de Borel : toute suite réelle est la suite des dérivées en $0$ d'une fonction $\mathcal{C}^\infty$ , construite comme somme de $a_n x^n/(1 + n!\, a_n^2 x^2)$ . Le second localise les valeurs propres d'une matrice, calcule celles de la matrice tridiagonale $A_n(\alpha, \beta)$ via les polynômes de Tchebychev de seconde espèce et une récurrence linéaire d'ordre 2, puis utilise $\det$ de matrices par blocs et la matrice $\begin{pmatrix} 0 & I \\ M & 0 \end{pmatrix}$ pour résoudre un système différentiel du second ordre.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie I — Deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables p. 2

Intégrales à paramètre · Séries entières · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale — fonction $\mathcal{C}^\infty$ non développable en série entière, dérivation sous l'intégrale, dérivation terme à terme, rayon de convergence nul, factorielle comme intégrale

Problème 1, Partie II — Le théorème de Borel p. 3–4

Interversion des limites · Convergence uniforme et normale · Dérivabilité · Fractions rationnelles · Nombres complexes · Coefficients binomiaux — théorème de Borel, formule de Leibniz, décomposition en éléments simples, convergence normale des dérivées, dérivées successives

Problème 2, Notations et Partie I — Éléments propres d'une matrice p. 5–6

Matrices remarquables · Polynômes de Tchebychev · Suites récurrentes linéaires · Réduction des endomorphismes · Théorème spectral · Déterminants — matrice tridiagonale, localisation des valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes de Tchebychev de seconde espèce, sous-espaces propres, récurrence linéaire d'ordre 2

Problème 2, Partie II — Système différentiel p. 7–8

Matrices par blocs · Déterminants · Systèmes différentiels linéaires · Diagonalisation · Densité · Théorème de Cauchy-Lipschitz — déterminant par blocs, matrices qui commutent, spectre d'une matrice par blocs, système différentiel du second ordre, changement de base

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Dérivabilité Corps des fractions d'un anneau intègre Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Ensembles finis et principe des tiroirs Matrices d'une application linéaire Anneaux de polynômes Suites réelles et limites Déterminant d'un endomorphisme Espaces de Hilbert et théorème de projection Formes multilinéaires alternées Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Intérieur, adhérence Théorème de Cauchy-Lipschitz local