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Centrale-Supélec MP 2018 — Maths 2

Fonctions harmoniques et problème de Dirichlet · 4 pages

Le sujet étudie les fonctions harmoniques sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ : premières propriétés, fonctions harmoniques à variables séparables en coordonnées cartésiennes puis polaires (laplacien en polaires, équation d'Euler), et principe du maximum faible avec unicité qui en découle. Il relie ensuite les fonctions harmoniques du plan aux parties réelles de fonctions développables en série entière, établit la formule de la moyenne et en déduit le théorème de d'Alembert-Gauss. Il résout enfin le problème de Dirichlet dans le disque unité à l'aide du noyau de Poisson.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Fonctions harmoniques : quelques propriétés p. 1

Fonctions harmoniques · Calcul différentiel · Connexité — laplacien, fonction harmonique, sous-espace vectoriel, produit de fonctions harmoniques

Partie II — Exemples de fonctions harmoniques p. 1–2

Fonctions harmoniques · Calcul différentiel · Équations linéaires d'ordre 2 · Équations différentielles linéaires — variables séparables, laplacien en coordonnées polaires, fonctions harmoniques radiales, équation d'Euler, solutions $2\pi$ -périodiques

Partie III — Principe du maximum faible p. 3

Fonctions harmoniques · Compacité · Points critiques et hessienne · Topologie, compacité, connexité — principe du maximum faible, frontière d'un ouvert, maximum atteint sur un compact, unicité du problème de Dirichlet

Partie IV — Fonctions harmoniques et séries entières p. 3–4

Analyse complexe · Séries entières · Fonctions harmoniques · Racines et relations coefficients-racines · Calcul différentiel — conditions de Cauchy-Riemann, formule de la moyenne, principe du maximum, théorème de d'Alembert-Gauss, partie réelle d'une série entière

Partie V — Résolution du problème de Dirichlet dans le disque unité p. 4

Fonctions harmoniques · Intégrales à paramètre · Séries entières · Continuité — problème de Dirichlet, noyau de Poisson, disque unité, théorème de Heine, existence et unicité