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Centrale-Supélec MPI 2025 — Maths 2

Étude d'un modèle probabiliste de ferromagnétisme · 6 pages

Le sujet étudie des modèles de spins (Curie-Weiss, Ising) où la loi des configurations est proportionnelle à l'exponentielle d'une énergie. La première partie détermine le spectre de plusieurs matrices d'interaction (matrice de rang un, matrice sinus orthogonale, matrices circulantes, produit de Kronecker). La seconde calcule la pression limite par matrice de transfert pour le modèle d'Ising, puis par méthode de Laplace pour le modèle de Curie-Weiss, montre l'apparition d'une aimantation spontanée pour $\beta > 1$ et établit une convergence en loi au point critique.

Le sujet, partie par partie

Partie A (I à III) — Inégalités générales, modèles de Curie-Weiss et sinus p. 2–3

Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Diagonalisation · Matrices orthogonales et rotations · Nombres complexes — théorème spectral, quotient de Rayleigh, matrice de rang 1, matrice orthogonale symétrique, sommes trigonométriques, modèle de Curie-Weiss

Partie A (IV et V) — Modèles d'Ising unidimensionnel et bidimensionnel p. 3–4

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Matrices remarquables · Matrices par blocs · Graphes · Nombres complexes · Informatique et algorithmique · Modèles de physique statistique — matrice de permutation circulante, matrice d'adjacence, produit de Kronecker, polynôme annulateur, racines de l'unité, modèle d'Ising, Python

Partie B (I et II) — Magnétisation spontanée dans le modèle d'Ising p. 4

Réduction des endomorphismes · Développements asymptotiques · Modèles de physique statistique · Variables aléatoires et lois usuelles · Espérance, variance, moments · Calcul matriciel — matrice de transfert, trace des puissances d'une matrice, fonction de partition, modèle d'Ising unidimensionnel, aimantation spontanée

Partie B (III) — Le modèle de Curie-Weiss p. 5–6

Intégrales à paramètre · Équivalents et comparaison · Modèles de physique statistique · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Extrema et optimisation · Continuité — méthode de Laplace, intégrale de Gauss, transformation de Hubbard-Stratonovich, transition de phase, bijection continue, aimantation

Partie B (IV) — Convergence en loi pour la loi de Curie-Weiss au point critique p. 6

Théorème central limite et convergence en loi · Modèles de physique statistique · Variables aléatoires et lois usuelles · Intégrales généralisées et intégrabilité — convergence en loi, fonctions lipschitziennes, fonction de répartition, point critique, densité en $\exp(-x^4/12)$