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Centrale-Supélec MPI 2026 — Maths 2

Un critère de non-annulation de la fonction zêta (type Nyman-Beurling) · 6 pages

Le sujet établit les propriétés de base de $\zeta$ (produit eulérien, non-annulation pour $\operatorname{Re} s > 1$ ), puis calcule les transformées de Mellin des fonctions $f_k(t) = (1/k)\lfloor 1/t \rfloor - \lfloor 1/(kt) \rfloor$ , à savoir $\int_0^1 f_k(t)\, t^{s-1} \,\mathrm{d}t = (1/s)(1/k - 1/k^s)\, \zeta(s)$ , et prolonge $\zeta$ par $\zeta(s) = 1/(s-1) + G(s)$ , d'où $\int_0^1 f_k = \ln(k)/k$ . Il munit ensuite l'espace engendré par $1$ et les $f_k$ d'un produit scalaire de type $L^2$ et, par Gram-Schmidt, exprime la distance $d_n$ de la fonction $1$ à $\operatorname{Vect}(f_2, \dots, f_n)$ . Il conclut, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que si $d_n$ tend vers $0$ alors $\zeta$ ne s'annule pas sur le demi-plan $\operatorname{Re} s > 1/2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Questions préliminaires p. 1–2

Fonction zêta de Riemann · Produits infinis · Familles sommables et produit de Cauchy · Nombres premiers · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale · Nombres complexes — produit eulérien, fonction zêta, nombres premiers, convergence absolue

Partie B — Étude analytique p. 2–3

Transformée de Mellin · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Comparaison série-intégrale · Développements asymptotiques · Théorie analytique des nombres — transformée de Mellin, partie entière, prolongement de zêta, pôle en $1$

Partie C — Étude algébrique et géométrique p. 4–5

Procédé de Gram-Schmidt · Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Intégrales généralisées et intégrabilité — espace $L^2$ , procédé de Gram-Schmidt, distance à un sous-espace, famille libre, forme bilinéaire positive

Partie D — Synthèse p. 5

Inégalité de Cauchy-Schwarz · Théorie analytique des nombres · Fonction zêta de Riemann — critère de Nyman-Beurling, hypothèse de Riemann, inégalité de Cauchy-Schwarz, zéros de zêta

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème fondamental de l'arithmétique Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Transformée de Fourier des fonctions intégrables Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Dérivabilité Théorie analytique des nombres Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables