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Centrale-Supélec PC 2013 — Maths 1

Noyau de Poisson, séries entières et séries de Fourier · 4 pages

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Le problème établit la règle d'Abel par transformation d'Abel, calcule la somme de la série entière de terme général $e^{in\theta}x^n/n$ et en déduit la somme des $\sin(k\theta)/k$ . Il calcule ensuite l'intégrale de $\ln(x^2 - 2x\cos\theta + 1)$ sur $[0, \pi]$ par trois méthodes (séries de Fourier, intégrale à paramètre, sommes de Riemann et racines de l'unité), qui vaut $0$ si $|x| < 1$ et $2\pi \ln|x|$ si $|x| > 1$ . Il termine par le théorème de convergence radiale d'Abel et la reconstruction d'une fonction $\mathcal{C}^1$ périodique à partir de son intégrale contre le noyau de Poisson.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Règle de convergence d'Abel p. 1

Séries numériques · Séries de Fourier · Formule de Parseval · Suites et séries de fonctions — transformation d'Abel, règle d'Abel, série de $\sin(nx)/\sqrt{n}$ , formule de Parseval, fonction non $\mathcal{C}^1$

Partie II — Étude de la série entière de terme général $e^{in\theta}x^n/n$ p. 1–2

Séries entières · Séries de Fourier · Convergence dominée · Nombres complexes — rayon de convergence, logarithme complexe, somme de $\sin(k\theta)/k$ , série de Fourier d'une fonction en dents de scie, somme des $1/(2n+1)^2$

Partie III — Calcul de l'intégrale de $\ln(x^2 - 2x\cos\theta + 1)$ p. 2–4

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries de Fourier · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Fractions rationnelles · Nombres complexes · Convergence dominée — intégrale de Poisson, intégrale de $\ln \sin$ , racines de l'unité, produit des sinus, sommes de Riemann, dérivation sous l'intégrale

Partie IV — Théorème de convergence radiale p. 4

Séries entières · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries de Fourier · Fonctions harmoniques · Convergence uniforme et normale · Intégrales à paramètre — théorème radial d'Abel, sommation d'Abel, noyau de Poisson, intégrale de Poisson, continuité en $1$ , développement en série entière, transformation d'Abel

Dans l'édifice

Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème de convergence dominée Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Corps des fractions d'un anneau intègre Sommation d'Abel et intégrales impropres Fonctions de classe Cᵏ Dérivabilité complexe