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Centrale-Supélec PC 2026 — Maths 2

Introduction aux distributions et théorème d'unicité de Cantor · 4 pages

Le sujet construit des fonctions test de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact, définit les distributions sur $\mathbb{R}$ comme formes linéaires sur ces fonctions (masse de Dirac, valeur principale de $1/x$ ) et leur dérivation, en montrant qu'une distribution de dérivée nulle est constante. Il étudie ensuite la convergence des suites de distributions et l'utilise pour démontrer le théorème d'unicité de Cantor : une série trigonométrique qui converge vers $0$ en tout point a tous ses coefficients nuls.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Construction d'une fonction test p. 1

Dérivabilité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Continuité — fonction plateau, fonction $\mathcal{C}^\infty$ à support compact, approximation de l'unité, $\exp(-1/x)$

Partie B — Distributions sur $\mathbb{R}$ p. 2

Dualité · Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre — distribution, masse de Dirac, valeur principale de $1/x$ , forme linéaire

Partie C — Dérivation d'une distribution p. 2–3

Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Dualité — dérivée au sens des distributions, fonction de Heaviside, valeur absolue, distribution de dérivée nulle

Partie D — Suites de distributions p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — convergence au sens des distributions, convergence en norme 2, inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

Partie E — Théorème d'unicité de Cantor p. 4

Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Suites numériques — théorème d'unicité de Cantor, série trigonométrique, convergence normale

Dans l'édifice

Dérivabilité Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espace dual Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ