AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MP 2021 — Mathématiques

Quatre exercices : intégrale de $x^{-x}$ , inverse généralisé, fonctions génératrices, formes linéaires sur $\mathbb{R}_n[X]$ · 4 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le premier exercice développe $x^{-x}$ en série de fonctions normalement convergente sur $[0, 1]$ et en déduit, grâce à la fonction $\Gamma$ , l'identité $\int_0^1 x^{-x}\,\mathrm{d}x = \sum n^{-n}$ . Le deuxième construit l'inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique à partir de sa décomposition spectrale, l'interprète en termes de moindres carrés et le calcule sur une matrice $4 \times 4$ . Les deux derniers portent sur des variables aléatoires définies par leurs fonctions génératrices (loi géométrique, développement de $\sqrt{1 + t}$ ) et sur la forme linéaire $P \mapsto \int_0^1 P$ dans $\mathbb{R}_n[X]$ et la base duale des $P \mapsto P^{(k)}(0)/k!$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Intégrale de $x^{-x}$ et série de fonctions p. 2

Interversion des limites · Fonctions Gamma et Bêta · Convergence uniforme et normale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques — convergence normale, intégration terme à terme, fonction Gamma, intégrale de $x^{-x}$ , identité de Bernoulli, valeur approchée

Exercice 2 — Inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique p. 2–3

Théorème spectral · Projection orthogonale et moindres carrés · Diagonalisation · Extrema et optimisation · Valeurs singulières et conditionnement — théorème spectral, projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces propres, décomposition spectrale, inverse généralisé, pseudo-inverse, moindres carrés

Exercice 3 — Fonctions génératrices et lois de $X$ , $Y$ et $X + Y$ p. 3–4

Fonctions génératrices · Loi géométrique · Espérance, variance, moments · Séries entières · Couples et sommes de variables aléatoires — fonction génératrice, développement en série entière de $(1 + t)^{1/2}$ , loi géométrique, somme de variables indépendantes, espérance, variance

Exercice 4 — Formes linéaires sur $\mathbb{R}_n[X]$ p. 4

Dualité · Applications linéaires et rang · Polynômes · Espaces vectoriels et dimension — forme linéaire, noyau et image, base duale, primitive d'un polynôme, coordonnées dans une base duale, formule de Taylor

Dans l'édifice

Une série entière est holomorphe Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Applications différentiables Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Les fonctions holomorphes sont analytiques Indépendance d'événements et de tribus Espace dual Applications linéaires Théorème du rang Anneaux de polynômes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs