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e3a-Polytech PC 2015 — Mathématiques

Matrice de Kac, fonctions $\operatorname{Arctan}$ , endomorphismes symétriques et antisymétriques, nombres de Fibonacci · 5 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Le premier étudie la matrice tridiagonale $A_n$ (matrice de Kac) en la reconnaissant comme matrice de l'endomorphisme $P \mapsto (n-1)XP + (1-X^2)P'$ dont les polynômes $(X-1)^h(X+1)^{n-1-h}$ sont vecteurs propres, et calcule le commutant de $A_4$ . Le deuxième part du développement en série entière d' $\operatorname{Arctan}$ pour étudier $H(x) = \int \operatorname{Arctan}(t)/t \,\mathrm{d}t$ et $\varphi(x) = \int \operatorname{Arctan}(tx)/(t(t^2+1)) \,\mathrm{d}t$ , puis en déduit l'intégrale de $\ln(\sin \theta)$ sur $[0, \pi/2]$ . Le troisième décompose $\mathcal{L}(E)$ en endomorphismes symétriques et antisymétriques de l'espace euclidien de dimension 3 ; le quatrième calcule les nombres de Fibonacci en Python (récurrence, doublement d'indice, puissances de matrice) et étudie une série alternée et la série génératrice.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une matrice tridiagonale et son commutant p. 2

Diagonalisation · Matrices remarquables · Polynômes d'endomorphismes · Algèbres et sous-algèbres · Applications linéaires et rang · Polynômes — matrice tridiagonale, matrice de Kac, polynôme annulateur, commutant, endomorphisme d'espace de polynômes, racine cubique d'une matrice

Exercice 2 — Autour de la fonction $\operatorname{Arctan}$ p. 3

Intégrales à paramètre · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Suites et séries de fonctions · Fractions rationnelles — fonction $\operatorname{Arctan}$ , développement en série entière, dérivation sous l'intégrale, intégrale de $\ln(\sin)$ , $\operatorname{Arctan}(x) + \operatorname{Arctan}(1/x)$ , fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$

Exercice 3 — Endomorphismes symétriques et antisymétriques en dimension 3 p. 4

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Espaces vectoriels et dimension · Sous-espaces stables · Projection orthogonale et moindres carrés — matrices antisymétriques, supplémentaires, projection orthogonale, symétrie orthogonale, rotation, produit vectoriel, partie symétrique d'une rotation

Exercice 4 — Nombres de Fibonacci p. 5

Suites récurrentes linéaires · Informatique et algorithmique · Séries alternées · Fonctions génératrices · Séries entières · Calcul matriciel — suite de Fibonacci, Python, formules de doublement d'indice, puissances d'une matrice, nombre d'or, identité de Cassini, série alternée

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Théorème du rang Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Corps des fractions d'un anneau intègre Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Suites, séries et parties compactes de ℂ Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition