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Mines-Ponts MP 2012 — Maths 2

Formule sommatoire de Poisson · 5 pages

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Le sujet établit la formule sommatoire de Poisson, somme des $f(n)$ égale à la somme des $\hat{f}(n)$ , pour les fonctions $f$ continues à décroissance en $|x|^{-\alpha}$ ( $\alpha > 1$ ) dont la transformée de Fourier vérifie la même condition, en calculant les coefficients de Fourier de la périodisée de $f$ . Il en tire la formule d'inversion de Fourier, les valeurs propres de la transformation de Fourier, le théorème d'échantillonnage de Whittaker pour $\hat{f}$ nulle hors de $[-1/2, 1/2]$ , le contre-exemple de Katznelson (construit avec le noyau de Fejér, pour lequel on examine la validité de la formule de Poisson) et la resommation d'Ewald pour approcher la somme des $\exp(-\pi(n/100)^2)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaires p. 2

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale · Espaces vectoriels et dimension — transformée de Fourier, fonction intégrable, fonction triangle, fonction créneau, convergence en moyenne, dilatation et translation

Partie B — Formule sommatoire de Poisson p. 3

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites — formule sommatoire de Poisson, fonction périodisée, coefficients de Fourier, convergence normale, unicité des coefficients de Fourier

Partie C — Application à la formule d'inversion de Fourier p. 3

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries de Fourier · Nombres complexes — formule d'inversion de Fourier, formule de Poisson généralisée, valeurs propres de la transformation de Fourier, racines quatrièmes de l'unité

Partie D — Théorème d'échantillonnage de Whittaker p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries de Fourier — théorème d'échantillonnage, Whittaker-Shannon, fonction à spectre borné, échantillons $f(n)$

Partie E — Contre-exemple de Katznelson p. 4–5

Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence des séries de Fourier · Suites et séries de fonctions · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale — noyau de Fejér, contre-exemple de Katznelson, convergence en moyenne d'une série de fonctions, transformée de Fourier intégrable, échec de la formule de Poisson

Partie F — Application à la resommation d'Ewald p. 5

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries numériques · Fonctions spéciales — resommation d'Ewald, gaussienne, transformée de Fourier de la gaussienne, approximation numérique d'une série

Dans l'édifice

Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Une série entière est holomorphe Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives La fonction zêta de Riemann et son prolongement