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Mines-Ponts MP 2017 — Maths 1

Étude d'un endomorphisme d'un espace de fonctions numériques · 4 pages

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Sur l'espace $\mathcal{E}$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ de $[-a, a]$ dans $\mathbb{C}$ , le sujet étudie les endomorphismes $u(f)(x) = (2/\pi)\int_0^{\pi/2} f(x \sin t) \,\mathrm{d}t$ et $v(f)(x) = f(0) + x\int_0^{\pi/2} f'(x \sin t) \,\mathrm{d}t$ , à l'aide des intégrales de Wallis ( $W_n W_{n+1} = \pi/(2(n + 1))$ ). Il examine leur continuité pour la norme uniforme et pour la norme $M(f) + M(f')$ , la densité des polynômes, montre que $u$ et $v$ sont des automorphismes réciproques l'un de l'autre, puis détermine leurs valeurs propres et vecteurs propres, qui sont des monômes.

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaires p. 2

Intégrales à paramètre · Formule de Stirling · Espaces vectoriels et dimension · Séries entières · Intégrale sur un segment · Équivalents et comparaison — intégrales de Wallis, relation de récurrence, équivalent de $W_n$ , fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ , sous-espace stable, développable en série entière

Partie B — Étude de la continuité de $u$ et $v$ p. 3

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Normes équivalentes · Théorème de Weierstrass · Densité · Espaces vectoriels normés — norme uniforme, application linéaire continue, normes non équivalentes, théorème de Weierstrass, densité des polynômes

Partie C — Étude de l'inversibilité de $u$ et $v$ et applications p. 3

Intégrales à paramètre · Applications linéaires et rang · Intégrale sur un segment · Polynômes — endomorphisme inversible, composée $u \circ v$ , changement de variable $z = \tan t$ , fonction $\arctan$ , argument sinus hyperbolique, parité

Partie D — Valeurs propres et vecteurs propres de $u$ et $v$ p. 3–4

Réduction des endomorphismes · Opérateurs et théorie spectrale · Séries entières · Dérivabilité · Intégrales à paramètre — valeurs propres, vecteurs propres, opérateur intégral, majoration des dérivées, base de vecteurs propres, spectre fermé

Mines-Ponts MP 2017 — Maths 1

Le sujet, partie par partie

Partie A — Préliminaires p. 2

Partie B — Étude de la continuité de uu et vv p. 3

Partie C — Étude de l'inversibilité de uu et vv et applications p. 3

Partie D — Valeurs propres et vecteurs propres de uu et vv p. 3–4

Dans l'édifice

Partie B — Étude de la continuité de $u$ et $v$ p. 3

Partie C — Étude de l'inversibilité de $u$ et $v$ et applications p. 3

Partie D — Valeurs propres et vecteurs propres de $u$ et $v$ p. 3–4