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Mines-Ponts MP 2022 — Maths 1

Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan · 8 pages

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Le sujet introduit $P(z) = \exp\left(\sum L(z^n)\right) = \prod 1/(1 - z^n)$ sur le disque unité et montre que c'est la série génératrice $\sum p_n z^n$ du nombre $p_n$ de partitions de l'entier $n$ , avec une formule intégrale pour $p_n$ . Après des majorations de $|P(xe^{i\theta})/P(x)|$ , des estimations de sommes par comparaison à des intégrales et un contrôle des fonctions caractéristiques (loi géométrique, variables centrées à moment d'ordre 4), il établit une convergence vers une gaussienne et en déduit l'équivalent $p_n \sim \exp\left(\pi\sqrt{2n/3}\right)/(4n\sqrt{3})$ .

Le sujet, partie par partie

A — Fonctions $L$ et $P$ p. 2

Séries entières · Produits infinis · Nombres complexes · Dérivabilité — logarithme complexe, série des $z^n/n$ , produit infini, $\exp(L(z)) = 1/(1 - z)$

B — Développement de $P$ en série entière p. 3

Partitions et nombres combinatoires · Fonctions génératrices · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries entières · Produits infinis — nombre de partitions, série génératrice, famille sommable, formule intégrale des coefficients, rayon de convergence

C — Contrôle de $P$ p. 4

Inégalités classiques · Nombres complexes · Produits infinis — majoration de module, partie réelle, inégalité $1 - \cos\theta$

D — Intermède : quelques estimations de sommes p. 4–5

Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements asymptotiques · Interversion des limites · Fonction zêta de Riemann — comparaison série-intégrale, intégrale égale à $\pi^2/6$ , intégration terme à terme, développement asymptotique en $0$

E — Contrôle des fonctions caractéristiques p. 5–6

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Loi géométrique · Espérance, variance, moments · Suites et séries de fonctions · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Développements limités — fonction caractéristique, moments, loi géométrique, moment d'ordre 4, inégalité de Taylor

F — Convergence vers une gaussienne p. 6–7

Théorème central limite et convergence en loi · Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Loi normale et vecteurs gaussiens · Convergence dominée · Équivalents et comparaison · Produits infinis · Méthode de Laplace et phase stationnaire — théorème central limite local, fonction caractéristique, intégrale de Gauss, convergence dominée, produit de variables indépendantes

G — La conclusion p. 8

Équivalents et comparaison · Partitions et nombres combinatoires · Méthode de Laplace et phase stationnaire — formule de Hardy-Ramanujan, équivalent du nombre de partitions, méthode du col

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Dérivabilité Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition La demi-droite achevée et les sommes positives Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Fonctions caractéristiques des variables aléatoires Espérance, variance et inégalités Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème central limite (méthode de Lindeberg)La loi normale Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites